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1. 一组勾股数中的三个整数互质时称之为本原勾股数，下面是按规律排列的本原勾数：3，4，$5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；···$，则第$n$组本原勾股数的第二个数为（
A.$2n(2n+1)$
B.$2n(2n-1)$
C.$2n(n+1)$
D.$2n(n-1)$
C
）A.$2n(2n+1)$
B.$2n(2n-1)$
C.$2n(n+1)$
D.$2n(n-1)$
答案
1. C
2. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”。观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为$2m$（$m≥ 3$，$m$为正整数），则其股是
$m^2-1$
（结果用含$m$的式子表示）。答案
2. $m^2-1$
3. 阅读与理解:阅读下面材料,在理解的基础上解决下列问题.
勾股数,也称为毕达哥拉斯数,是指满足勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的三个正整数$a,b,c$.其中$a$和$b$是直角三角形的两条直角边长,$c$是斜边长.
勾股数可以通过以下公式生成:$a=m^{2}-n^{2}$,$b=2mn$,$c=m^{2}+n^{2}$,其中$m$和$n$都是正整数,且$m＞n$.
例如,当$m=2$,$n=1$时,$a=2^{2}-1^{2}=3$,$b=2×2×1=4$,$c=2^{2}+1^{2}=5$.因此,$(3,4,5)$是一组勾股数.
(1) 使用勾股数生成公式,当$m=4$,$n=1$时,求对应的勾股数$(a,b,c)$.
(2) 若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数$(5,12,13)$,请你计算他代入的正整数$m$和$n$($m＞n$)的值.
勾股数,也称为毕达哥拉斯数,是指满足勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的三个正整数$a,b,c$.其中$a$和$b$是直角三角形的两条直角边长,$c$是斜边长.
勾股数可以通过以下公式生成:$a=m^{2}-n^{2}$,$b=2mn$,$c=m^{2}+n^{2}$,其中$m$和$n$都是正整数,且$m＞n$.
例如,当$m=2$,$n=1$时,$a=2^{2}-1^{2}=3$,$b=2×2×1=4$,$c=2^{2}+1^{2}=5$.因此,$(3,4,5)$是一组勾股数.
(1) 使用勾股数生成公式,当$m=4$,$n=1$时,求对应的勾股数$(a,b,c)$.
(2) 若小明通过材料中的勾股数生成公式得到勾股数$(5,12,13)$,请你计算他代入的正整数$m$和$n$($m＞n$)的值.
答案
3. 解:(1) 当$m=4,n=1$时,$a=m^2-n^2=4^2-1^2=15,b=2mn=2×4×1=8$,
$c=m^2+n^2=4^2+1^2=17$.所以对应的勾股数为$(15,8,17)$.
(2) 根据题意,得$m^2-n^2=5,2mn=12,m^2+n^2=13$,解得$m=3,n=2$.
$c=m^2+n^2=4^2+1^2=17$.所以对应的勾股数为$(15,8,17)$.
(2) 根据题意,得$m^2-n^2=5,2mn=12,m^2+n^2=13$,解得$m=3,n=2$.
4. 勾股定理是一个基本的几何定理,在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形的三边长都是正整数,这样的直角三角形叫“整数直角三角形”,这三个整数叫作一组“勾股数”.如:$3,4,5$;$5,12,13$;$8,15,17$;$···$都是勾股数.
(1) 若$a,b,c$是一组勾股数,即满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,则$ka,kb,kc$($k$为正整数)也是一组勾股数.
如:$5,12,13$是一组勾股数,则
(2) 世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国的《九章算术》中,书中提到:当$a=\dfrac{1}{2}(m^{2}-n^{2})$,$b=mn$,$c=\dfrac{1}{2}(m^{2}+n^{2})$($m,n$为正整数,$m＞n$)时,$a,b,c$构成一组勾股数. 请证明满足以上公式的$a,b,c$是一组勾股数.
(1) 若$a,b,c$是一组勾股数,即满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,则$ka,kb,kc$($k$为正整数)也是一组勾股数.
如:$5,12,13$是一组勾股数,则
10,24,26(答案不唯一)
也是一组勾股数.(2) 世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国的《九章算术》中,书中提到:当$a=\dfrac{1}{2}(m^{2}-n^{2})$,$b=mn$,$c=\dfrac{1}{2}(m^{2}+n^{2})$($m,n$为正整数,$m＞n$)时,$a,b,c$构成一组勾股数. 请证明满足以上公式的$a,b,c$是一组勾股数.
答案
4. 解:(1) 10,24,26(答案不唯一)
(2) 因为$a^2+b^2=[\dfrac{1}{2}(m^2-n^2)]^2+(mn)^2=\dfrac{1}{4}m^4+\dfrac{1}{2}m^2n^2+\dfrac{1}{4}n^4=[\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)]^2$,$c^2=[\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)]^2$,所以$a^2+b^2=c^2$.所以满足以上公式的$a,b,c$是一组勾股数.
(2) 因为$a^2+b^2=[\dfrac{1}{2}(m^2-n^2)]^2+(mn)^2=\dfrac{1}{4}m^4+\dfrac{1}{2}m^2n^2+\dfrac{1}{4}n^4=[\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)]^2$,$c^2=[\dfrac{1}{2}(m^2+n^2)]^2$,所以$a^2+b^2=c^2$.所以满足以上公式的$a,b,c$是一组勾股数.
