【例3】若一个圆锥的侧面积为$36π$,其底面圆的半径为4,则该圆锥的母线长为 ()

A.3
B.4
C.9
D.12

C

【分析】
要解决该问题，需运用圆锥侧面积的计算公式，明确公式中各参数的意义，将题目给出的侧面积和底面半径代入公式，即可求出母线长。
【解析】
圆锥的侧面积公式为：$ S_{侧} = π r l $（其中$ r $为底面圆半径，$ l $为母线长）。
已知侧面积$ S_{侧}=36π $，底面半径$ r=4 $，代入公式得：
$ 36π = π × 4 × l $
两边同时除以$ π $，化简得：$ 36 = 4l $
解得：$ l=9 $
【答案】
C
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题是圆锥侧面积公式的直接应用，属于基础题型，只需准确代入公式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7

4. 如图,用圆心角为$120°$、半径为6 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(接缝忽略不计),则这个纸帽的高为。

4. $4\sqrt{2}$ cm

【分析】要计算圆锥形纸帽的高，需利用扇形与圆锥的关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。先通过扇形弧长公式求出弧长，再由底面周长求出底面半径，最后结合圆锥母线（扇形半径），利用勾股定理计算高。
【解析】1. 计算扇形弧长：根据弧长公式 $ l = \frac{nπ R}{180} $（其中圆心角 $ n=120° $，扇形半径 $ R=6\,\mathrm{cm} $），代入得弧长为 $ \frac{120π × 6}{180} = 4π \,\mathrm{cm} $。
2. 求圆锥底面半径：设圆锥底面半径为 $ r $，因为扇形弧长等于圆锥底面周长，即 $ 2π r = 4π $，解得 $ r=2\,\mathrm{cm} $。
3. 计算圆锥的高：圆锥的母线长等于扇形半径，即 $ 6\,\mathrm{cm} $，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，由勾股定理得高 $ h = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\,\mathrm{cm} $。
【答案】$ 4\sqrt{2}\,\mathrm{cm} $
【知识点】弧长公式、圆锥的相关计算、勾股定理
【点评】本题考查圆锥侧面展开图的性质，属于基础题型，需掌握扇形弧长与圆锥底面周长的对应关系，以及圆锥高的计算方法，难度适中。
【难度系数】0.6

5. 如图,在矩形$ABCD$中,以点$A$为圆心,$AD$长为半径画弧交$BC$于点$E$,将扇形$ADE$剪下来做成圆锥.若$AB=BE=3$,则该圆锥的底面半径为。

5. $\frac{3}{8}\sqrt{2}$

【分析】
要解决该问题，需先结合矩形性质和直角三角形求出扇形的圆心角与半径，再利用“圆锥底面周长等于扇形弧长”的关系计算底面半径。具体步骤：1. 利用矩形内角为直角，结合已知AB=BE=3，在Rt△ABE中求扇形的半径及圆心角；2. 计算扇形弧长；3. 根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程求解底面半径。
【解析】
1. 在矩形ABCD中，∠B=90°，且AE=AD（以A为圆心、AD为半径画弧）。已知AB=BE=3，在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，故扇形ADE的半径$R=AE=3\sqrt{2}$。
2. 因AB=BE，∠B=90°，所以∠BAE=45°，则扇形ADE的圆心角$∠ DAE=∠ DAB-∠ BAE=90°-45°=45°$。
3. 设圆锥底面半径为$r$，圆锥底面周长等于扇形ADE的弧长。扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为圆心角度数），代入$n=45°$、$R=3\sqrt{2}$得：
弧长$l=\frac{45π×3\sqrt{2}}{180}=\frac{3\sqrt{2}π}{4}$。
4. 圆锥底面周长为$2π r$，故$2π r=\frac{3\sqrt{2}π}{4}$，约去$π$后解得$r=\frac{3\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}\sqrt{2}$
【知识点】
矩形性质、扇形弧长公式、圆锥周长与弧长关系
【点评】
本题综合考查矩形、直角三角形、扇形及圆锥的核心知识点，关键是确定扇形的圆心角和半径，利用弧长与底面周长的等量关系建立方程，需注意各知识点的衔接，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.4

【例4】[原创题]如图,以点$O$为圆心的两个同心圆中,点$A,B$在大圆上,点$C,D$在小圆上,$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$的长度分别是$l_{1},l_{2}$.若扇形$OAB$与扇形$OCD$的面积相等,则$l_{1}$与$l_{2}$的大小关系为 ()


A.$l_{1}＞l_{2}$
B.$l_{1}＜l_{2}$
C.$l_{1}=l_{2}$
D.不能确定

B

【分析】
要比较弧长$ l_1 $与$ l_2 $的大小，需利用扇形面积与弧长、半径的关系。扇形面积可表示为$ S=\frac{1}{2} · l · r $（$ l $为弧长，$ r $为扇形所在圆的半径），本题中两个扇形的圆心均为$ O $，设大圆半径为$ R $、小圆半径为$ r $，通过两扇形面积相等建立弧长与半径的关系，即可推导$ l_1 $和$ l_2 $的大小。
【解析】
设大圆半径为$ R $，小圆半径为$ r $，扇形$ OAB $的弧长为$ l_1 $，扇形$ OCD $的弧长为$ l_2 $。
根据扇形面积公式$ S=\frac{1}{2} · l · r $，可得：
扇形$ OAB $的面积$ S_1=\frac{1}{2} l_1 R $，
扇形$ OCD $的面积$ S_2=\frac{1}{2} l_2 r $。
由题意$ S_1=S_2 $，因此：
$ \frac{1}{2} l_1 R = \frac{1}{2} l_2 r $，
两边同时约去$ \frac{1}{2} $，得$ l_1 R = l_2 r $，
变形为$ \frac{l_1}{l_2} = \frac{r}{R} $。
因为两圆为同心圆，所以大圆半径$ R ＞ $小圆半径$ r $，即$ \frac{r}{R} ＜ 1 $，
故$ \frac{l_1}{l_2} ＜ 1 $，即$ l_1 ＜ l_2 $。
【答案】
B
【知识点】
扇形面积公式、弧长公式
【点评】
本题核心是利用扇形面积与弧长的关系建立等式，结合同心圆半径的大小推导弧长关系，属于基础应用类题目，需熟练掌握扇形面积的不同表达形式。
【难度系数】
0.5

6. 如图,在$□ ABCD$中,$AB⊥ AC$,$AB=AC=2$,以$AC$为直径作$\odot O$分别交$AD$、$BC$于点$E$、$F$,则阴影部分的面积为。

6. 2

【分析】
要解决本题，需先结合平行四边形的性质和已知条件AB⊥AC、AB=AC=2，确定△ABC为直角三角形；再依据圆的直径所对圆周角为直角的性质，明确阴影部分对应的图形，最终通过直角三角形面积公式计算结果。
【解析】
在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=AC=2，因此△ABC是直角三角形，其面积计算如下：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2 $
结合图形可知，阴影部分的面积等于△ABC的面积，故阴影部分面积为2。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形性质，圆的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形、圆的性质及图形面积计算，核心是明确阴影部分对应的图形，利用直角三角形面积公式求解，难度适中。
【难度系数】
0.5

7. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$C$为$\odot O$上一点,$∠ ABC$的平分线交$\odot O$于点$D$,$DE⊥ BC$于点$E$.
(1) 试判断$DE$与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2) 过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$.若$∠ ABC=60°$,$DE=3$,求图中阴影部分的面积.

7. (1) $DE$ 与$\odot O$相切,理由略. (2) $S_{阴影}=2π-\frac{3}{2}\sqrt{3}$.

【分析】
第(1)问要判断DE与⊙O的位置关系，需用切线判定定理，即证明直线与过圆心的半径垂直，因此连接OD，利用角平分线性质和等腰三角形性质推导OD与BE平行，结合DE⊥BE，可得DE⊥OD，从而确定DE是切线；第(2)问利用角平分线性质得DF=DE=3，结合∠ABC=60°推出∠ABD=30°，通过直角三角形性质求⊙O半径，再计算扇形AOD与△ODF的面积差得到阴影面积。
【解析】
(1) DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD，
又
∵ OD=OB，
∴ ∠ODB=∠ABD，
∴ ∠ODB=∠CBD，
∴ OD//BE，
∵ DE⊥BC，
∴ DE⊥OD，
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE与⊙O相切。
(2)
∵ BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，根据角平分线的性质，得DF=DE=3，
∵ ∠ABC=60°，
∴ ∠ABD=∠CBD=30°，
在Rt△DFB中，∠DFB=90°，∠DBF=30°，DF=3，
∴ BD=2DF=6，BF=√(BD² - DF²)=√(6² - 3²)=3√3，
在Rt△ODF中，∠DOF=2∠ABD=60°，∠DFO=90°，DF=3，
∴ OD=DF/sin60°=3/(√3/2)=2√3，
∴ OF=OD·cos60°=2√3×1/2=√3，
阴影部分面积=扇形AOD的面积 - △ODF的面积，
扇形AOD的面积= (60°/360°)×π×(2√3)²=2π，
△ODF的面积= (OF×DF)/2= (√3×3)/2= (3√3)/2，
∴ S阴影=2π - (3√3)/2。
【答案】
(1) DE与⊙O相切；(2) 2π - (3√3)/2
【知识点】
切线的判定、角平分线的性质、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的切线判定、角平分线性质、直角三角形性质及扇形面积计算，解题关键是通过辅助线OD证明切线，利用角平分线性质得到DF=DE，结合角度关系求半径，进而计算阴影面积，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.4