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8 [2024 陕西]小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将$0,-2,-1,1,2$这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________.
答案
0或2或-2
解析
【分析】
解决本题首先要观察图形特点：中间位置的数同时属于横向和纵向，计算横、纵向的总和时，中间数会被重复计算1次。我们可以先计算出所有待填数的总和，再结合“横向三个数之和与纵向三个数之和相等”的条件，推导中间数需要满足的性质，最后从给出的数中筛选出符合条件的数即可。
【解析】
首先计算5个待填数的总和：$0 + (-2) + (-1) + 1 + 2 = 0$。
设中间位置的数为$x$，横向、纵向三个数的和均为$S$。
横向总和加纵向总和为$S+S=2S$，该总和也等于5个数的总和加上重复计算的中间数$x$，因此可得：
$2S = 0 + x$，即$x=2S$。
因为$S$是三个有理数的和，为整数，所以$x$必须是偶数。
在$0,-2,-1,1,2$这五个数中，偶数为$-2,0,2$，均符合要求。
【答案】
0或2或-2
【知识点】
有理数加减运算；等量关系推导
【点评】
本题结合幻方背景考查有理数运算的应用，解题的关键是发现中间数被重复计算的特点，通过建立等量关系推导中间数的性质，比逐一尝试代入的方法更高效，也能避免漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要观察图形特点：中间位置的数同时属于横向和纵向，计算横、纵向的总和时，中间数会被重复计算1次。我们可以先计算出所有待填数的总和，再结合“横向三个数之和与纵向三个数之和相等”的条件，推导中间数需要满足的性质，最后从给出的数中筛选出符合条件的数即可。
【解析】
首先计算5个待填数的总和：$0 + (-2) + (-1) + 1 + 2 = 0$。
设中间位置的数为$x$，横向、纵向三个数的和均为$S$。
横向总和加纵向总和为$S+S=2S$，该总和也等于5个数的总和加上重复计算的中间数$x$，因此可得：
$2S = 0 + x$，即$x=2S$。
因为$S$是三个有理数的和，为整数，所以$x$必须是偶数。
在$0,-2,-1,1,2$这五个数中，偶数为$-2,0,2$，均符合要求。
【答案】
0或2或-2
【知识点】
有理数加减运算；等量关系推导
【点评】
本题结合幻方背景考查有理数运算的应用，解题的关键是发现中间数被重复计算的特点，通过建立等量关系推导中间数的性质，比逐一尝试代入的方法更高效，也能避免漏解。
【难度系数】
0.6
9 新考向 探究题 不改变数的顺序,请用“+”“-”运算符号把数6,-15,-10,-13组成一个算式:
$6-(-15)+(-10)-(-13)$
,使其运算结果为24.答案
$6-(-15)+(-10)-(-13)$
解析
【分析】
首先明确题干核心要求：①必须保持6、-15、-10、-13的数序不变；②仅使用“+”“-”运算符号连接；③运算结果为24。我们可以结合有理数减法法则（减去一个数等于加上它的相反数），通过在负数前填减号获得正数增量来凑数：先从第一个数6出发，尝试在6和-15之间填“-”，可得6-(-15)=21；接下来21与-10之间填“+”，可得21+(-10)=11；最后11与-13之间填“-”，可得11-(-13)=24，刚好满足结果要求，且所有条件均符合。
【解析】
我们构造的算式为：$6-(-15)+(-10)-(-13)$
根据有理数加减混合运算规则计算：
第一步：将所有减法转化为加法，原式$=6 + 15 + (-10) + 13$
第二步：从左到右依次计算：
$6+15=21$
$21+(-10)=11$
$11+13=24$
该算式数序未改变，仅使用了“+”“-”符号，运算结果为24，符合题意。
【答案】
$6-(-15)+(-10)-(-13)$
【知识点】
有理数加减混合运算；有理数减法法则；有理数符号化简
【点评】
本题属于探究类开放题型，核心考查有理数加减运算规则的灵活运用，需要学生结合数字特征尝试凑数，能有效锻炼学生的数字敏感度和运算验证能力。
【难度系数】
0.6
首先明确题干核心要求：①必须保持6、-15、-10、-13的数序不变；②仅使用“+”“-”运算符号连接；③运算结果为24。我们可以结合有理数减法法则（减去一个数等于加上它的相反数），通过在负数前填减号获得正数增量来凑数：先从第一个数6出发，尝试在6和-15之间填“-”，可得6-(-15)=21；接下来21与-10之间填“+”，可得21+(-10)=11；最后11与-13之间填“-”，可得11-(-13)=24，刚好满足结果要求，且所有条件均符合。
【解析】
我们构造的算式为：$6-(-15)+(-10)-(-13)$
根据有理数加减混合运算规则计算：
第一步：将所有减法转化为加法，原式$=6 + 15 + (-10) + 13$
第二步：从左到右依次计算：
$6+15=21$
$21+(-10)=11$
$11+13=24$
该算式数序未改变，仅使用了“+”“-”符号，运算结果为24，符合题意。
【答案】
$6-(-15)+(-10)-(-13)$
【知识点】
有理数加减混合运算；有理数减法法则；有理数符号化简
【点评】
本题属于探究类开放题型，核心考查有理数加减运算规则的灵活运用，需要学生结合数字特征尝试凑数，能有效锻炼学生的数字敏感度和运算验证能力。
【难度系数】
0.6
10 计算：
(1) $(-\dfrac{2}{3})-(+\dfrac{1}{8})-(-\dfrac{1}{3})-\left|-\dfrac{3}{8}\right|$；
(2) $(-\dfrac{1}{4})+(+\dfrac{5}{6})-\left|-\dfrac{1}{2}\right|-(-\dfrac{2}{3})$。
(1) $(-\dfrac{2}{3})-(+\dfrac{1}{8})-(-\dfrac{1}{3})-\left|-\dfrac{3}{8}\right|$；
(2) $(-\dfrac{1}{4})+(+\dfrac{5}{6})-\left|-\dfrac{1}{2}\right|-(-\dfrac{2}{3})$。
答案
(1) $-\dfrac{5}{6}$ (2) $\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
解决有理数加减混合运算类题目，思路如下：第一步先化简所有符号和绝对值：根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将所有减法转化为加法；再根据绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身）化简含绝对值的项。第二步观察算式中各项的特点，灵活运用加法交换律和结合律，把同分母或容易通分计算的项分组结合，降低计算难度。第三步按照有理数加法法则计算每组结果，最后求和得到最终答案。
【解析】
(1) 先化简符号与绝对值，再分组计算：
$\begin{aligned}原式&= -\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{8}\\&= (-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}) + (-\dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{8})\\&= -\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}\\&= -\dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{6}\\&= -\dfrac{5}{6}\end{aligned}$
(2) 先化简符号与绝对值，再分组计算：
$\begin{aligned}原式&= -\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\\&= (-\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}) + (\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{3})\\&= -\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{2}\\&= -\dfrac{3}{4} + \dfrac{6}{4}\\&= \dfrac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{5}{6}$；(2) $\dfrac{3}{4}$
【知识点】
有理数加减混合运算；绝对值化简；加法运算律应用
【点评】
这两道题是有理数加减混合运算的常规题型，解题核心是先统一运算形式、化简绝对值，再通过运算律合理分组简化计算，计算过程中要注意符号变化和通分的准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
解决有理数加减混合运算类题目，思路如下：第一步先化简所有符号和绝对值：根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”，将所有减法转化为加法；再根据绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身）化简含绝对值的项。第二步观察算式中各项的特点，灵活运用加法交换律和结合律，把同分母或容易通分计算的项分组结合，降低计算难度。第三步按照有理数加法法则计算每组结果，最后求和得到最终答案。
【解析】
(1) 先化简符号与绝对值，再分组计算：
$\begin{aligned}原式&= -\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{8}\\&= (-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}) + (-\dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{8})\\&= -\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}\\&= -\dfrac{2}{6} - \dfrac{3}{6}\\&= -\dfrac{5}{6}\end{aligned}$
(2) 先化简符号与绝对值，再分组计算：
$\begin{aligned}原式&= -\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\\&= (-\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}) + (\dfrac{5}{6} + \dfrac{2}{3})\\&= -\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{2}\\&= -\dfrac{3}{4} + \dfrac{6}{4}\\&= \dfrac{3}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{5}{6}$；(2) $\dfrac{3}{4}$
【知识点】
有理数加减混合运算；绝对值化简；加法运算律应用
【点评】
这两道题是有理数加减混合运算的常规题型，解题核心是先统一运算形式、化简绝对值，再通过运算律合理分组简化计算，计算过程中要注意符号变化和通分的准确性，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
11 新情境 生活实际 在一次考试中，某班14名同学的成绩如下(单位:分):79,81,95,92,68,75,80，93,85,65,72,75,80,87.
（1）以80分为标准，成绩高于80分的记为正数，低于80分的记为负数.请你按上述要求表示出这14名同学的成绩.
（2）用(1)中的成绩求他们的平均成绩.
（1）以80分为标准，成绩高于80分的记为正数，低于80分的记为负数.请你按上述要求表示出这14名同学的成绩.
（2）用(1)中的成绩求他们的平均成绩.
答案
(1) -1分,+1分,+15分,+12分,-12分,-5分,0分,+13分,+5分,-15分,-8分,-5分,0分,+7分
(2) $[-1+(+1)+(+15)+(+12)+(-12)+(-5)+0+(+13)+(+5)+(-15)+(-8)+(-5)+0+(+7)]×\dfrac{1}{14}=0.5$(分),$80+0.5=80.5$(分),所以他们的平均成绩为80.5分
(2) $[-1+(+1)+(+15)+(+12)+(-12)+(-5)+0+(+13)+(+5)+(-15)+(-8)+(-5)+0+(+7)]×\dfrac{1}{14}=0.5$(分),$80+0.5=80.5$(分),所以他们的平均成绩为80.5分
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：明确记数规则，以80分为基准，将每名同学的成绩与80分作差，差值为正代表成绩高于80分，差值为负代表成绩低于80分，差值为0代表成绩恰好等于80分，依次计算14个成绩与80的差值即可。
（2）第二问解题思路：先计算（1）中得到的14个差值的平均值，再将该平均值加上基准分80，即可得到14名同学的实际平均成绩，该方法比直接计算原始成绩的平均值更简便。
【解析】
（1）分别计算每名同学成绩与80分的差值：
$79-80=-1$，$81-80=+1$，$95-80=+15$，$92-80=+12$，$68-80=-12$，$75-80=-5$，$80-80=0$，$93-80=+13$，$85-80=+5$，$65-80=-15$，$72-80=-8$，$75-80=-5$，$80-80=0$，$87-80=+7$
即得到对应记法。
（2）先求14个差值的总和：
$\begin{split}&-1+(+1)+(+15)+(+12)+(-12)+(-5)+0+(+13)+(+5)+(-15)+(-8)+(-5)+0+(+7)\\=&7\end{split}$
平均差值为：$7×\dfrac{1}{14}=0.5$（分）
实际平均成绩为：$80+0.5=80.5$（分）
【答案】
（1）-1分,+1分,+15分,+12分,-12分,-5分,0分,+13分,+5分,-15分,-8分,-5分,0分,+7分
（2）80.5分
【知识点】
正负数的应用，有理数加减混合运算，平均数计算
【点评】
本题结合考试成绩的生活情境，考查正负数的实际意义和有理数运算的应用，通过基准记数法简化了平均数的计算过程，有利于培养简便运算的思维。
【难度系数】
0.8
（1）第一问解题思路：明确记数规则，以80分为基准，将每名同学的成绩与80分作差，差值为正代表成绩高于80分，差值为负代表成绩低于80分，差值为0代表成绩恰好等于80分，依次计算14个成绩与80的差值即可。
（2）第二问解题思路：先计算（1）中得到的14个差值的平均值，再将该平均值加上基准分80，即可得到14名同学的实际平均成绩，该方法比直接计算原始成绩的平均值更简便。
【解析】
（1）分别计算每名同学成绩与80分的差值：
$79-80=-1$，$81-80=+1$，$95-80=+15$，$92-80=+12$，$68-80=-12$，$75-80=-5$，$80-80=0$，$93-80=+13$，$85-80=+5$，$65-80=-15$，$72-80=-8$，$75-80=-5$，$80-80=0$，$87-80=+7$
即得到对应记法。
（2）先求14个差值的总和：
$\begin{split}&-1+(+1)+(+15)+(+12)+(-12)+(-5)+0+(+13)+(+5)+(-15)+(-8)+(-5)+0+(+7)\\=&7\end{split}$
平均差值为：$7×\dfrac{1}{14}=0.5$（分）
实际平均成绩为：$80+0.5=80.5$（分）
【答案】
（1）-1分,+1分,+15分,+12分,-12分,-5分,0分,+13分,+5分,-15分,-8分,-5分,0分,+7分
（2）80.5分
【知识点】
正负数的应用，有理数加减混合运算，平均数计算
【点评】
本题结合考试成绩的生活情境，考查正负数的实际意义和有理数运算的应用，通过基准记数法简化了平均数的计算过程，有利于培养简便运算的思维。
【难度系数】
0.8
12 有依次排列的3个数:3,9,8,对任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作;第二次进行同样的操作后也产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8;继续依次操作下去.
（1）第一次操作后,增加的所有新数之和是多少?
（2）第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?
（3）猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?
（1）第一次操作后,增加的所有新数之和是多少?
（2）第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?
（3）猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和是多少?
答案
（1）第一次操作后增加的新数是 6，−1，则 $6+(-1)=5$
（2）第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和为 $3+3+(-10)+9=5$
（3）猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为 5
（2）第二次操作后所得的新数串比第一次操作后所得的数串增加的所有新数之和为 $3+3+(-10)+9=5$
（3）猜想第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为 5
解析
【分析】
解决这道题首先要明确“每次操作后新增的数”的定义：即本次操作得到的数串对比上一次数串多出来的数。前两问直接找出对应新增的数，按有理数加法法则求和即可；第三问先计算前两次新增数的和，发现均为5，进一步推导可知：每次操作时相邻两数a、b之间新增数为b-a，所有新增数相加后中间项会抵消，最终和为原数串最后一个数减第一个数（8-3=5），因此每次操作新增的和都为5。
【解析】
（1）第一次操作后，原数串为3,9,8，新数串为3,6,9,-1,8，新增的新数是6和-1，求和得：
$6+(-1)=5$
（2）第二次操作后新数串为3,3,6,3,9,-10,-1,9,8，对比第一次操作后的数串，新增的数为3,3,-10,9，求和得：
$3+3+(-10)+9=5$
（3）由前两次操作新增数的和均为5，可推导规律：每次操作后新增的所有新数之和恒为5，因此第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为5。
【答案】
（1）5；（2）5；（3）5
【知识点】
有理数加减运算，数字规律探究
【点评】
本题重点考察有理数加减的计算能力和规律探究能力，解题时要先准确区分每次操作的新增数，通过计算前几次的结果总结普遍规律，可避免复杂的逐个计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确“每次操作后新增的数”的定义：即本次操作得到的数串对比上一次数串多出来的数。前两问直接找出对应新增的数，按有理数加法法则求和即可；第三问先计算前两次新增数的和，发现均为5，进一步推导可知：每次操作时相邻两数a、b之间新增数为b-a，所有新增数相加后中间项会抵消，最终和为原数串最后一个数减第一个数（8-3=5），因此每次操作新增的和都为5。
【解析】
（1）第一次操作后，原数串为3,9,8，新数串为3,6,9,-1,8，新增的新数是6和-1，求和得：
$6+(-1)=5$
（2）第二次操作后新数串为3,3,6,3,9,-10,-1,9,8，对比第一次操作后的数串，新增的数为3,3,-10,9，求和得：
$3+3+(-10)+9=5$
（3）由前两次操作新增数的和均为5，可推导规律：每次操作后新增的所有新数之和恒为5，因此第一百次操作后得到的新数串比第九十九次操作后所得的数串增加的所有新数之和为5。
【答案】
（1）5；（2）5；（3）5
【知识点】
有理数加减运算，数字规律探究
【点评】
本题重点考察有理数加减的计算能力和规律探究能力，解题时要先准确区分每次操作的新增数，通过计算前几次的结果总结普遍规律，可避免复杂的逐个计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
