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1. 小王在网上看到一首关于周瑜去世时年龄的诗：
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个位六倍与寿符.
这首诗的大意为：周瑜去世时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数.
(1)你能算出周瑜去世时的年龄吗？
(2)通过查找资料和数据，你能再写出一首关于某个历史人物特定时期年龄的诗吗？用二元一次方程组列出其中的数量关系.
(3)你能根据自己和父母(或其他家人)现在的年龄，编一个可以用二元一次方程组解决的问题吗？
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个位六倍与寿符.
这首诗的大意为：周瑜去世时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数.
(1)你能算出周瑜去世时的年龄吗？
(2)通过查找资料和数据，你能再写出一首关于某个历史人物特定时期年龄的诗吗？用二元一次方程组列出其中的数量关系.
(3)你能根据自己和父母(或其他家人)现在的年龄，编一个可以用二元一次方程组解决的问题吗？
答案
(1)解：设周瑜去世时的年龄个位上的数字为x、十位上的数字为y.
根据诗的大意，得$\begin{cases} y=x-3, &① \\ 6x=x+10y, &② \end{cases}$
①×5+②，并化简得5y=15，
所以y=3.
把y=3代入①得x=6，
所以周瑜去世时的年龄为36岁.
(2)略
(3)略
根据诗的大意，得$\begin{cases} y=x-3, &① \\ 6x=x+10y, &② \end{cases}$
①×5+②，并化简得5y=15，
所以y=3.
把y=3代入①得x=6，
所以周瑜去世时的年龄为36岁.
(2)略
(3)略
解析
【分析】
(1)要计算周瑜去世的年龄，首先明确年龄是大于30的两位数，可分别设个位、十位数字为两个未知数，从题干中提取两个等量关系：一是十位数字比个位数字小3，二是个位数字的6倍等于这个两位数（两位数可表示为10×十位数字+个位数字），据此列二元一次方程组求解，最后结合年龄大于30的条件验证结果即可。(2)(3)为开放性问题，分别满足“历史人物年龄的数量关系可列二元一次方程组”“结合家人年龄编的问题可用二元一次方程组求解”的要求即可。
【解析】
(1)解：设周瑜去世时的年龄个位上的数字为x，十位上的数字为y。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} y=x-3, &① \\ 6x=x+10y, &② \end{cases}$
将①代入②，可得$6x=x+10(x-3)$，化简得$5x=30$，解得$x=6$；也可使用加减消元法：①×5+②，化简得$5y=15$，解得$y=3$。
把$y=3$代入①，得$x=3+3=6$。
因此这个两位数为$10×3+6=36$，且$36＞30$，符合题干要求。
(2)本问为开放性试题，所写诗歌包含对应历史人物年龄的两组等量关系，可列出二元一次方程组即可。
(3)本问为开放性试题，结合家人年龄编写的问题包含两组等量关系，可通过二元一次方程组求解即可。
【答案】
(1)周瑜去世时的年龄为36岁；
(2)略；
(3)略。
【知识点】
二元一次方程组应用；消元法解方程；两位数的表示
【点评】
本题将传统文化与数学知识结合，既考查了二元一次方程组的建模与求解能力，又通过开放性问题引导学生联系历史与生活实际，很好地体现了数学的应用性，能有效检验学生对知识的掌握程度和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要计算周瑜去世的年龄，首先明确年龄是大于30的两位数，可分别设个位、十位数字为两个未知数，从题干中提取两个等量关系：一是十位数字比个位数字小3，二是个位数字的6倍等于这个两位数（两位数可表示为10×十位数字+个位数字），据此列二元一次方程组求解，最后结合年龄大于30的条件验证结果即可。(2)(3)为开放性问题，分别满足“历史人物年龄的数量关系可列二元一次方程组”“结合家人年龄编的问题可用二元一次方程组求解”的要求即可。
【解析】
(1)解：设周瑜去世时的年龄个位上的数字为x，十位上的数字为y。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} y=x-3, &① \\ 6x=x+10y, &② \end{cases}$
将①代入②，可得$6x=x+10(x-3)$，化简得$5x=30$，解得$x=6$；也可使用加减消元法：①×5+②，化简得$5y=15$，解得$y=3$。
把$y=3$代入①，得$x=3+3=6$。
因此这个两位数为$10×3+6=36$，且$36＞30$，符合题干要求。
(2)本问为开放性试题，所写诗歌包含对应历史人物年龄的两组等量关系，可列出二元一次方程组即可。
(3)本问为开放性试题，结合家人年龄编写的问题包含两组等量关系，可通过二元一次方程组求解即可。
【答案】
(1)周瑜去世时的年龄为36岁；
(2)略；
(3)略。
【知识点】
二元一次方程组应用；消元法解方程；两位数的表示
【点评】
本题将传统文化与数学知识结合，既考查了二元一次方程组的建模与求解能力，又通过开放性问题引导学生联系历史与生活实际，很好地体现了数学的应用性，能有效检验学生对知识的掌握程度和灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 恩格尔系数是食品支出总额占家庭消费支出总额的比重，用来衡量一个国家或地区人民生活水平的情况. 表Q4-1是反映居民家庭生活水平的恩格尔系数表：
表Q4-1
(1)整理你家近3个月的家庭消费支出情况，分析统计数据，确定你家恩格尔系数的平均值，并根据表Q4-1判断所属家庭类型.
(2)某户的恩格尔系数是0.45，如果随着收入的增加，食品支出也提高了10%，那么要达到富裕水平，这家的总支出至少需要增加百分之几？
3. 某校开展主题为“关心身边事，我们来献策”的社会实践活动.
小华对学校附近的一条限速100 km/h的高速公路上行车安全距离产生了兴趣. 于是，他先在网上查阅资料，获得以下信息：
①汽车的刹车距离包括刹车反应距离（做出刹车反应的时间内车辆匀速行驶的距离）和制动距离（开始刹车到车辆静止时滑行的距离）；
②实际驾驶中，刹车反应时间大约是人体反应时间的3倍；
③车速为100 km/h时，车辆的制动距离大约为42 m；
④汽车司机的人体反应速度通常比初中生快.
为了测试人体的反应时间，小华与同学合作随机抽取了100名初中生，进行如下试验：
第一步：被测同学伸出一只手，拇指和其余四指分开；
第二步：让一名同学把长直尺直立，刻度0在下方，放在被测同学的拇指和四指之间，使刻度0的位置与拇指在同一高度，然后松手，被测同学要以最快的速度抓住长直尺；
第三步：记录手抓在长直尺上的刻度$l$（单位：cm）；
第四步：计算反应时间$t$（单位：s），通过查阅资料可知反应时间$t$与手抓在长直尺上的刻度$l$（单位：cm）近似满足关系式 $t=\frac{1}{10}·\sqrt{\frac{l}{5}}$.
小华将收集到的数据整理成统计表Q4-
表Q4-1
(1)整理你家近3个月的家庭消费支出情况，分析统计数据，确定你家恩格尔系数的平均值，并根据表Q4-1判断所属家庭类型.
(2)某户的恩格尔系数是0.45，如果随着收入的增加，食品支出也提高了10%，那么要达到富裕水平，这家的总支出至少需要增加百分之几？
3. 某校开展主题为“关心身边事，我们来献策”的社会实践活动.
小华对学校附近的一条限速100 km/h的高速公路上行车安全距离产生了兴趣. 于是，他先在网上查阅资料，获得以下信息：
①汽车的刹车距离包括刹车反应距离（做出刹车反应的时间内车辆匀速行驶的距离）和制动距离（开始刹车到车辆静止时滑行的距离）；
②实际驾驶中，刹车反应时间大约是人体反应时间的3倍；
③车速为100 km/h时，车辆的制动距离大约为42 m；
④汽车司机的人体反应速度通常比初中生快.
为了测试人体的反应时间，小华与同学合作随机抽取了100名初中生，进行如下试验：
第一步：被测同学伸出一只手，拇指和其余四指分开；
第二步：让一名同学把长直尺直立，刻度0在下方，放在被测同学的拇指和四指之间，使刻度0的位置与拇指在同一高度，然后松手，被测同学要以最快的速度抓住长直尺；
第三步：记录手抓在长直尺上的刻度$l$（单位：cm）；
第四步：计算反应时间$t$（单位：s），通过查阅资料可知反应时间$t$与手抓在长直尺上的刻度$l$（单位：cm）近似满足关系式 $t=\frac{1}{10}·\sqrt{\frac{l}{5}}$.
小华将收集到的数据整理成统计表Q4-
答案
2.(1)略
(2)解：设这家的总支出原先为1，需要增加的比例为x.
根据题意，得$0.30(1+x)＜0.45(1+10\%)≤ 0.40(1+x)$，
解得$0.2375≤ x＜0.65$，
所以要达到富裕水平，这家的总支出至少需要增加23.75%.
(2)解：设这家的总支出原先为1，需要增加的比例为x.
根据题意，得$0.30(1+x)＜0.45(1+10\%)≤ 0.40(1+x)$，
解得$0.2375≤ x＜0.65$，
所以要达到富裕水平，这家的总支出至少需要增加23.75%.
解析
【分析】
解题时首先明确恩格尔系数的计算公式：恩格尔系数=食品支出总额÷家庭消费支出总额。我们可以先将原来的总支出设为单位“1”，设总支出需要增加的比例为x，先计算出增长后的食品支出，再结合富裕家庭的恩格尔系数范围（0.30＜n≤0.40）列出不等式，求解不等式得到x的取值范围，取x的最小值即为至少需要增加的百分比。
【解析】
解：设这家原先的总支出为1，总支出需要增加的比例为x。
原来的食品支出为：$0.45 × 1=0.45$
食品支出提高10%后，新的食品支出为：$0.45 × (1+10\%)=0.495$
总支出增加x后，新的总支出为：$1 × (1+x)=1+x$
富裕家庭的恩格尔系数满足$0.30 ＜ n ≤ 0.40$，代入公式可得：
$0.30 ＜ \frac{0.495}{1+x} ≤ 0.40$
因为总支出为正数，$1+x＞0$，不等式三边同时乘$(1+x)$，不等号方向不变，得：
$0.30(1+x) ＜ 0.495 ≤ 0.40(1+x)$
分别解两个不等式：
① 解$0.30(1+x) ＜ 0.495$：
两边同时除以0.30，得$1+x ＜ 1.65$，解得$x ＜ 0.65$
② 解$0.495 ≤ 0.40(1+x)$：
两边同时除以0.40，得$1.2375 ≤ 1+x$，解得$x ≥ 0.2375$
因此不等式的解集为$0.2375 ≤ x ＜ 0.65$，x的最小值为0.2375，即23.75%。
【答案】
要达到富裕水平，这家的总支出至少需要增加23.75%。
【知识点】
不等式的实际应用，百分数的应用
【点评】
本题结合生活中衡量家庭生活水平的恩格尔系数背景，考查不等式的实际应用，解题的核心是准确理解题意，找准不等关系，通过设单位“1”简化计算，能有效锻炼学生将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确恩格尔系数的计算公式：恩格尔系数=食品支出总额÷家庭消费支出总额。我们可以先将原来的总支出设为单位“1”，设总支出需要增加的比例为x，先计算出增长后的食品支出，再结合富裕家庭的恩格尔系数范围（0.30＜n≤0.40）列出不等式，求解不等式得到x的取值范围，取x的最小值即为至少需要增加的百分比。
【解析】
解：设这家原先的总支出为1，总支出需要增加的比例为x。
原来的食品支出为：$0.45 × 1=0.45$
食品支出提高10%后，新的食品支出为：$0.45 × (1+10\%)=0.495$
总支出增加x后，新的总支出为：$1 × (1+x)=1+x$
富裕家庭的恩格尔系数满足$0.30 ＜ n ≤ 0.40$，代入公式可得：
$0.30 ＜ \frac{0.495}{1+x} ≤ 0.40$
因为总支出为正数，$1+x＞0$，不等式三边同时乘$(1+x)$，不等号方向不变，得：
$0.30(1+x) ＜ 0.495 ≤ 0.40(1+x)$
分别解两个不等式：
① 解$0.30(1+x) ＜ 0.495$：
两边同时除以0.30，得$1+x ＜ 1.65$，解得$x ＜ 0.65$
② 解$0.495 ≤ 0.40(1+x)$：
两边同时除以0.40，得$1.2375 ≤ 1+x$，解得$x ≥ 0.2375$
因此不等式的解集为$0.2375 ≤ x ＜ 0.65$，x的最小值为0.2375，即23.75%。
【答案】
要达到富裕水平，这家的总支出至少需要增加23.75%。
【知识点】
不等式的实际应用，百分数的应用
【点评】
本题结合生活中衡量家庭生活水平的恩格尔系数背景，考查不等式的实际应用，解题的核心是准确理解题意，找准不等关系，通过设单位“1”简化计算，能有效锻炼学生将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.6
