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类型四 换元法
4. 你会对多项式$(x^{2}+5x + 2)(x^{2}+5x + 3)-12$分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化.从换元的个数看，有一元代换、二元代换等.
对于$(x^{2}+5x + 2)(x^{2}+5x + 3)-12$.
解法一：设$x^{2}+5x = y$，
则原式$=(y + 2)(y + 3)-12 = y^{2}+5y - 6=(y + 6)·(y - 1)=(x^{2}+5x + 6)(x^{2}+5x - 1)=(x + 2)(x + 3)·(x^{2}+5x - 1)$.
解法二：设$x^{2}+5x + 2 = y$，
则原式$=y(y + 1)-12 = y^{2}+y - 12=(y + 4)(y - 3)=(x^{2}+5x + 6)(x^{2}+5x - 1)=(x + 2)(x + 3)·(x^{2}+5x - 1)$.
解法三：设$x^{2}+2 = m$，$5x = n$，
则原式$=(m + n)(m + n + 1)-12=(m + n)^{2}+(m + n)-12=(m + n + 4)(m + n - 3)=(x^{2}+5x + 6)(x^{2}+5x - 1)=(x + 2)(x + 3)(x^{2}+5x - 1)$.
按照上面介绍的方法对下列多项式因式分解：
(1)$(x^{2}+x - 4)(x^{2}+x + 3)+10$；
(2)$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)+x^{2}$；
(3)$(x + y - 2xy)(x + y - 2)+(xy - 1)^{2}$.
4. 你会对多项式$(x^{2}+5x + 2)(x^{2}+5x + 3)-12$分解因式吗？对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），能使复杂的问题简单化、明朗化.从换元的个数看，有一元代换、二元代换等.
对于$(x^{2}+5x + 2)(x^{2}+5x + 3)-12$.
解法一：设$x^{2}+5x = y$，
则原式$=(y + 2)(y + 3)-12 = y^{2}+5y - 6=(y + 6)·(y - 1)=(x^{2}+5x + 6)(x^{2}+5x - 1)=(x + 2)(x + 3)·(x^{2}+5x - 1)$.
解法二：设$x^{2}+5x + 2 = y$，
则原式$=y(y + 1)-12 = y^{2}+y - 12=(y + 4)(y - 3)=(x^{2}+5x + 6)(x^{2}+5x - 1)=(x + 2)(x + 3)·(x^{2}+5x - 1)$.
解法三：设$x^{2}+2 = m$，$5x = n$，
则原式$=(m + n)(m + n + 1)-12=(m + n)^{2}+(m + n)-12=(m + n + 4)(m + n - 3)=(x^{2}+5x + 6)(x^{2}+5x - 1)=(x + 2)(x + 3)(x^{2}+5x - 1)$.
按照上面介绍的方法对下列多项式因式分解：
(1)$(x^{2}+x - 4)(x^{2}+x + 3)+10$；
(2)$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)+x^{2}$；
(3)$(x + y - 2xy)(x + y - 2)+(xy - 1)^{2}$.
答案
$(1)$ 对$(x^{2}+x - 4)(x^{2}+x + 3)+10$分解因式
解：设$x^{2}+x = y$，
则原式$=(y - 4)(y + 3)+10$
$=y^{2}-y - 12 + 10$
$=y^{2}-y - 2$
$=(y - 2)(y + 1)$
把$y = x^{2}+x$代回得：$(x^{2}+x - 2)(x^{2}+x + 1)$
进一步分解$x^{2}+x - 2=(x - 1)(x + 2)$，
所以原式$=(x - 1)(x + 2)(x^{2}+x + 1)$。
$(2)$ 对$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)+x^{2}$分解因式
解：先将$(x + 1)(x + 6)$与$(x + 2)(x + 3)$分别相乘，
$(x + 1)(x + 6)=x^{2}+7x + 6$，$(x + 2)(x + 3)=x^{2}+5x + 6$。
设$x^{2}+6 = m$，
则原式$=(m + 7x)(m + 5x)+x^{2}$
$=m^{2}+12xm + 35x^{2}+x^{2}$
$=m^{2}+12xm + 36x^{2}$
$=(m + 6x)^{2}$
把$m = x^{2}+6$代回得：$(x^{2}+6 + 6x)^{2}=(x + 3)^{4}$。
$(3)$ 对$(x + y - 2xy)(x + y - 2)+(xy - 1)^{2}$分解因式
解：设$x + y = m$，$xy = n$，
则原式$=(m - 2n)(m - 2)+(n - 1)^{2}$
$=m^{2}-2m - 2mn + 4n + n^{2}-2n + 1$
$=m^{2}-2m - 2mn + n^{2}+2n + 1$
$=m^{2}-2m(1 + n)+(n + 1)^{2}$
$=(m - n - 1)^{2}$
把$m = x + y$，$n = xy$代回得：$(x + y - xy - 1)^{2}=[(x - 1)(1 - y)]^{2}=(x - 1)^{2}(y - 1)^{2}$。
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{(x - 1)(x + 2)(x^{2}+x + 1)}$；$(2)\boldsymbol{(x + 3)^{4}}$；$(3)\boldsymbol{(x - 1)^{2}(y - 1)^{2}}$。
解：设$x^{2}+x = y$，
则原式$=(y - 4)(y + 3)+10$
$=y^{2}-y - 12 + 10$
$=y^{2}-y - 2$
$=(y - 2)(y + 1)$
把$y = x^{2}+x$代回得：$(x^{2}+x - 2)(x^{2}+x + 1)$
进一步分解$x^{2}+x - 2=(x - 1)(x + 2)$，
所以原式$=(x - 1)(x + 2)(x^{2}+x + 1)$。
$(2)$ 对$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)+x^{2}$分解因式
解：先将$(x + 1)(x + 6)$与$(x + 2)(x + 3)$分别相乘，
$(x + 1)(x + 6)=x^{2}+7x + 6$，$(x + 2)(x + 3)=x^{2}+5x + 6$。
设$x^{2}+6 = m$，
则原式$=(m + 7x)(m + 5x)+x^{2}$
$=m^{2}+12xm + 35x^{2}+x^{2}$
$=m^{2}+12xm + 36x^{2}$
$=(m + 6x)^{2}$
把$m = x^{2}+6$代回得：$(x^{2}+6 + 6x)^{2}=(x + 3)^{4}$。
$(3)$ 对$(x + y - 2xy)(x + y - 2)+(xy - 1)^{2}$分解因式
解：设$x + y = m$，$xy = n$，
则原式$=(m - 2n)(m - 2)+(n - 1)^{2}$
$=m^{2}-2m - 2mn + 4n + n^{2}-2n + 1$
$=m^{2}-2m - 2mn + n^{2}+2n + 1$
$=m^{2}-2m(1 + n)+(n + 1)^{2}$
$=(m - n - 1)^{2}$
把$m = x + y$，$n = xy$代回得：$(x + y - xy - 1)^{2}=[(x - 1)(1 - y)]^{2}=(x - 1)^{2}(y - 1)^{2}$。
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{(x - 1)(x + 2)(x^{2}+x + 1)}$；$(2)\boldsymbol{(x + 3)^{4}}$；$(3)\boldsymbol{(x - 1)^{2}(y - 1)^{2}}$。
类型五 待定系数法
5. 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理.关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：$x^{3}+x^{2}+3x - 5$.
解：观察可知，当$x = 1$时，原式$= 0$，
∴原式可分解为$(x - 1)$与另一个整式的积.
设另一个整式为$x^{2}+bx + c$，则$x^{3}+x^{2}+3x - 5=(x - 1)(x^{2}+bx + c)$，∴$x^{3}+x^{2}+3x - 5 = x^{3}+(b - 1)x^{2}+(c - b)x - c$，
∵等式两边$x$同次幂的系数相等，
则有$\begin{cases}b - 1 = 1,\\c - b = 3,\\-c = -5,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2,\\c = 5.\end{cases}$
∴$x^{3}+x^{2}+3x - 5=(x - 1)(x^{2}+2x + 5)$.
根据以上材料，解答以下问题：
(1)若多项式$x^{3}+ax + 1$($a$为常数)含有因式$x + 1$，则$a$的值为
(2)分解因式：$x^{3}+2x^{2}-3=$；
(3)已知$6x^{2}-xy - 2y^{2}=(2x + y)(3x - 2y)$，且多项式$6x^{2}-xy - 2y^{2}+5x - 8y + a$可以分解为两个一次因式之积，求$a$的值并将该多项式分解因式.
5. 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理.关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：$x^{3}+x^{2}+3x - 5$.
解：观察可知，当$x = 1$时，原式$= 0$，
∴原式可分解为$(x - 1)$与另一个整式的积.
设另一个整式为$x^{2}+bx + c$，则$x^{3}+x^{2}+3x - 5=(x - 1)(x^{2}+bx + c)$，∴$x^{3}+x^{2}+3x - 5 = x^{3}+(b - 1)x^{2}+(c - b)x - c$，
∵等式两边$x$同次幂的系数相等，
则有$\begin{cases}b - 1 = 1,\\c - b = 3,\\-c = -5,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2,\\c = 5.\end{cases}$
∴$x^{3}+x^{2}+3x - 5=(x - 1)(x^{2}+2x + 5)$.
根据以上材料，解答以下问题：
(1)若多项式$x^{3}+ax + 1$($a$为常数)含有因式$x + 1$，则$a$的值为
0
；(2)分解因式：$x^{3}+2x^{2}-3=$；
(3)已知$6x^{2}-xy - 2y^{2}=(2x + y)(3x - 2y)$，且多项式$6x^{2}-xy - 2y^{2}+5x - 8y + a$可以分解为两个一次因式之积，求$a$的值并将该多项式分解因式.
答案
(1) 0 解析：∵ 多项式 x³ + ax + 1 含有因式 x + 1，∴ x³ + ax + 1 = (x + 1)M，M 为一个整式，∴ 当 x = -1 时，x³ + ax + 1 = 0，得 a = 0.(2) (x - 1)(x² + 3x + 3) 解析：当 x = 1 时，x³ + 2x² - 3 的值为 0，∴ 原式可分解为 (x - 1) 与另一个整式的积，设另一个整式为 x² + bx + c，∴ x³ + 2x² - 3 = (x - 1)(x² + bx + c).∵ (x - 1)(x² + bx + c) = x³ + (b - 1)x² + (c - b)x - c，∴ x³ + 2x² - 3 = x³ + (b - 1)x² + (c - b)x - c，∴ $\begin{cases}b - 1 = 2,\\c - b = 0,\\-c = -3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b = 3,\\c = 3,\end{cases}$∴ x³ + 2x² - 3 = (x - 1)(x² + 3x + 3).(3)∵ 6x² - xy - 2y² = (2x + y)(3x - 2y)，∴ 6x² - xy - 2y² + 5x - 8y + a 可以分解为 [(2x + y) + c][(3x - 2y) + d]，则 [(2x + y) + c]·[(3x - 2y) + d] = 6x² - xy - 2y² + (2d + 3c)x + (d - 2c)y + cd，∴ $\begin{cases}2d + 3c = 5,\\d - 2c = -8,\\cd = a,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = -6,\\d = -2,\\c = 3.\end{cases}$ 则 6x² - xy - 2y² + 5x - 8y + a = 6x² - xy - 2y² + 5x - 8y - 6 = [(2x + y) + 3][(3x - 2y) - 2] = (2x + y + 3)(3x - 2y - 2).
