8 数形结合思想 二次函数$y=ax^{2}+bx+1$与一次函数$y=2ax+b$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

8. A

【分析】
要判断二次函数$y=ax^2+bx+1$与一次函数$y=2ax+b$的图象是否匹配，核心是利用两者系数的关联：将二次函数的对称轴$x=-\frac{b}{2a}$代入一次函数，可得一次函数在该点的函数值为$0$，因此一次函数必经过二次函数对称轴与x轴的交点；再结合二次函数开口方向判断$a$的正负，验证一次函数的斜率、截距是否匹配，即可选出正确选项。
【解析】
1. 分析选项A：
二次函数开口向上，故$a＞0$，则一次函数$y=2ax+b$的斜率$2a＞0$，对应一次函数为上升直线，符合；
二次函数对称轴在x正半轴，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，因$a＞0$，故$-b＞0$，即$b＜0$，则一次函数的截距$b＜0$，对应一次函数与y轴交于负半轴，符合；
一次函数与x轴的交点恰好是二次函数对称轴与x轴的交点，满足推导的性质，故A正确。
2. 分析选项B：
二次函数对称轴在x负半轴，但一次函数与x轴的交点不在该对称轴处，不满足一次函数必过对称轴与x轴交点的性质，排除B。
3. 分析选项C：
二次函数对称轴在x负半轴，一次函数与x轴的交点不在该对称轴处，排除C。
4. 分析选项D：
二次函数对称轴在x正半轴，一次函数与x轴的交点不在该对称轴处，排除D。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象、一次函数图象、数形结合
【点评】
本题通过数形结合思想，利用二次函数与一次函数的系数关联，找到一次函数必过二次函数对称轴与x轴交点的关键性质，快速排除错误选项，是函数图象题的典型解题思路。
【难度系数】
0.5

9 [2025 海安模拟]已知点$(-1,y_{1})$,$(2,y_{2})$,$(4,y_{3})$都在抛物线$y=-x^{2}+2x+c$上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系是（）

A.$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$
B.$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$
C.$y_{2}＜y_{1}＜y_{3}$
D.$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$

9. A

【分析】本题考查二次函数的性质，解题思路是：先确定抛物线的开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下时“离对称轴越远，函数值越小”的规律，比较三个函数值的大小。
【解析】解：对于抛物线$y=-x^2 + 2x + c$，其中$a=-1$，$b=2$，$c$为常数。
1. 确定开口方向：因为$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值，且离对称轴越远，函数值越小。
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$、$b=2$，得对称轴$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$。
3. 计算各点到对称轴$x=1$的距离：
点$(-1,y_1)$到对称轴的距离：$\vert -1 -1\vert=2$；
点$(2,y_2)$到对称轴的距离：$\vert2 -1\vert=1$；
点$(4,y_3)$到对称轴的距离：$\vert4 -1\vert=3$。
4. 比较距离大小：$3＞2＞1$，结合开口向下的性质，得函数值大小关系为$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
【答案】A
【知识点】二次函数的性质、抛物线的对称轴、函数值比较
【点评】本题是二次函数性质的基础应用题，核心考查对称轴、开口方向与函数值的关系，只要掌握二次函数基本性质即可解答，难度较低。
【难度系数】0.3

10 如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上,顶点 B 在 x 轴正半轴上. 若抛物线 $y=x^{2}-5x+4$ 经过点 C,D,点 D 的坐标为 $(0,4)$,则点 B 的坐标为.

10. (2,0)

【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质和二次函数的特点：首先利用菱形对边平行的性质，确定点C的纵坐标，通过抛物线解析式求出点C坐标，得到菱形边长；再利用菱形边长相等，求出点A坐标，最终根据AB长度确定点B坐标。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是菱形，AB在x轴上，所以CD//x轴，点C与点D的纵坐标相同。已知D(0,4)，故点C的纵坐标为4。
2. 将y=4代入抛物线解析式$y=x^2-5x+4$，得：
$x^2 -5x +4 =4$，整理得$x^2 -5x=0$，因式分解为$x(x-5)=0$，解得$x=0$或$x=5$。
$x=0$对应点D，因此点C的坐标为$(5,4)$，则CD的长度为$5-0=5$，即菱形的边长为5。
3. 设点A的坐标为$(a,0)$，根据菱形边长相等，$AD=CD=5$，由两点间距离公式：
$AD=\sqrt{(a-0)^2 + (0-4)^2}=5$，平方得$a^2 +16=25$，解得$a^2=9$，即$a=\pm3$。
结合图像，点A在x轴负半轴，故$a=-3$，即$A(-3,0)$。
4. 因为AB为菱形的边，$AB=CD=5$，点A坐标为$(-3,0)$，点B在x轴正半轴，所以点B的横坐标为$-3+5=2$，纵坐标为0，即$B(2,0)$。
【答案】
(2,0)
【知识点】
菱形的性质；二次函数图像上点的坐标特征；坐标与图形性质
【点评】
本题将菱形性质与二次函数知识结合，核心是利用菱形对边平行且相等的特点，先通过抛物线求出点C坐标，再逐步推导各点坐标，属于中等难度的综合题，需学生具备数形结合的思维。
【难度系数】
0.4

11 如图,抛物线经过点$A(-3,0),B(0,3)$,且其对称轴为直线$x=-1$.
(1) 求此抛物线对应的函数解析式；
(2) 若 $P$ 是抛物线上点 $A$ 与点 $B$ 之间的动点(不包括点 $A,B$),求$△ PAB$ 面积的最大值,并求出此时点 $P$ 的坐标.
（第 10 题）

11. (1) 由题意,可设此抛物线对应的函数解析式为 $y=a(x+1)^2+c$. 将 $A(-3,0),B(0,3)$ 代入,得 $\begin{cases}4a+c=0,\\a+c=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\c=4.\end{cases}$
∴此抛物线对应的函数解析式为 $y=-(x+1)^2+4=-x^2-2x+3$
(2) 设直线 AB 对应的函数解析式为 $y=kx+b$. 将 $A(-3,0),B(0,3)$ 代入,得 $\begin{cases}-3k+b=0,\\b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\b=3.\end{cases}$
∴ $y=x+3$. 过点 $P$ 作 $PQ⊥ x$ 轴于点 $Q$,交直线 $AB$ 于点 $M$. 设点 $P$ 的坐标为 $(x,-x^2-2x+3)(-3＜x＜0)$,则点 $M$ 的坐标为 $(x,x+3)$.
∴ $PM=-x^2-2x+3-(x+3)=-x^2-3x$.
∴ $S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}(-x^2-3x)×3=-\dfrac{3}{2}(x+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{8}$. 当 $x=-\dfrac{3}{2}$ 时,$S_{△ PAB}$ 最大,为$\dfrac{27}{8}$,此时点 $P$ 的坐标为 $(-\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用抛物线的对称轴设顶点式，结合已知点A、B的坐标，用待定系数法求解抛物线解析式；第(2)问通过割补法，过动点P作x轴垂线交直线AB于点M，将△PAB的面积转化为以PM为底、A到B的水平距离为高的三角形面积，再结合二次函数的性质求面积最大值及对应P点坐标。
【解析】
(1) 已知抛物线对称轴为直线$x=-1$，故设抛物线的顶点式为$y=a(x+1)^2 + c$。
将点$A(-3,0)$、$B(0,3)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}4a + c = 0 \\a + c = 3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$-3a=3$，解得$a=-1$，代入$a + c=3$得$c=4$。
因此抛物线解析式为$y=-(x+1)^2 +4$，展开得$y=-x^2 -2x +3$。
(2) 先求直线AB的解析式，设为$y=kx + b$，代入$A(-3,0)$、$B(0,3)$：
$\begin{cases}-3k + b =0 \\b=3\end{cases}$
解得$k=1$，$b=3$，故直线AB解析式为$y=x+3$。
过点P作$PQ⊥x$轴于Q，交AB于M，设P点坐标为$(x, -x^2 -2x +3)$（$-3 ＜ x ＜0$），则M点坐标为$(x, x+3)$。
PM的长度为P与M纵坐标的差：$PM = (-x^2 -2x +3) - (x+3) = -x^2 -3x$。
△PAB的面积可表示为：$S_{△PAB} = \frac{1}{2} × PM × |x_A - x_B| = \frac{1}{2}(-x^2 -3x)×3 = -\frac{3}{2}(x+\frac{3}{2})^2 + \frac{27}{8}$。
因为二次项系数为负，当$x=-\frac{3}{2}$时，面积取得最大值$\frac{27}{8}$，此时P点坐标为$(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。
【答案】
(1) 抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2 -2x +3$；
(2) △PAB面积的最大值为$\frac{27}{8}$，此时点P的坐标为$(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$。
【知识点】
二次函数解析式、二次函数的最值、三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的综合应用，考查待定系数法求函数解析式，以及利用割补法结合二次函数性质求三角形面积的最值，解题关键是合理转化三角形面积表达式，将问题转化为二次函数的最值问题，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.6

12 新考向 新定义题 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如$A(-2,-6)$，$B(0,0)$，$C(1,3)$等都是“三倍点”.已知二次函数$y=-x^{2}-x+c$（$c$为常数）.
(1) 若记“三倍点”$D$的横坐标为$t$，则点$D$的坐标可表示为（用含$t$的代数式表示）.
(2) 若该函数图象经过点$(1,-6)$.
① 求出该函数图象上的“三倍点”坐标；
② 当$-3≤ x≤ 1$时，记二次函数$y=-x^{2}-x+c$的最大值为$M$，最小值为$N$，求$M-N$的值.

12. (1) $(t,3t)$
(2) ① $\because$ 函数图象经过点 $(1,-6)$，$\therefore -6=-1-1+c$.$\therefore c=-4$.$\therefore y=-x^2-x-4$. 设函数图象上的“三倍点”坐标为 $(t,3t)$.$\therefore 3t=-t^2-t-4$.$\therefore t_1=t_2=-2$.$\therefore$ 函数 $y=-x^2-x-4$ 图象上的“三倍点”坐标为 $(-2,-6)$
② $\because y=-x^2-x-4=-(x+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{15}{4}$,且$-3≤ x≤1$,$\therefore$ 当 $x=-\dfrac{1}{2}$ 时,$y$ 取最大值,即 $M=-\dfrac{15}{4}$. 又$\because$ 当 $x=-3$ 时,$y=-(-3)^2-(-3)-4=-10$;当 $x=1$ 时,$y=-1-1-4=-6$,$\therefore N=-10$.$\therefore M-N=-\dfrac{15}{4}-(-10)=\dfrac{25}{4}$

【分析】
首先明确“三倍点”的定义：纵坐标为横坐标的3倍，据此解决第(1)问；第(2)问①先利用函数过已知点求出常数c，再设“三倍点”坐标为$(t,3t)$代入函数解析式，解方程得到t的值确定坐标；②将二次函数配方为顶点式，找到对称轴判断其在给定区间内，确定最大值M，再计算区间端点的函数值比较得到最小值N，最后计算M-N。
【解析】
(1) 根据“三倍点”定义，横坐标为t时，纵坐标为3t，故点D的坐标为$(t,3t)$。
(2) ① 因为函数$y=-x^2 -x +c$过点$(1,-6)$，代入得：$-6=-1-1+c$，解得$c=-4$，函数解析式为$y=-x^2 -x -4$。设“三倍点”坐标为$(t,3t)$，代入得$3t=-t^2 -t -4$，整理为$t^2+4t+4=0$，解得$t=-2$，故“三倍点”坐标为$(-2,-6)$。
② 将$y=-x^2 -x -4$配方得$y=-(x+\frac{1}{2})^2 -\frac{15}{4}$，对称轴为$x=-\frac{1}{2}$，在区间$-3≤x≤1$内。因二次函数开口向下，故最大值$M=-\frac{15}{4}$；计算区间端点函数值：$x=-3$时$y=-10$，$x=1$时$y=-6$，故最小值$N=-10$。则$M-N=-\frac{15}{4}-(-10)=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $(t,3t)$；(2) ① $(-2,-6)$；② $\frac{25}{4}$
【知识点】
新定义问题、二次函数解析式、二次函数的最值
【点评】
本题是新定义与二次函数的综合题，需先理解新定义，再运用二次函数性质求解，考查基础应用能力，步骤清晰。
【难度系数】
0.6