1 [2026 启东期中]抛物线 $y=x^{2}-1$ 的顶点坐标是（）

A.$(1,0)$
B.$(-1,0)$
C.$(0,1)$
D.$(0,-1)$

1. D

【分析】要确定抛物线的顶点坐标，可利用二次函数的顶点式性质或顶点坐标公式。本题的抛物线解析式属于顶点式形式，直接对应顶点式的顶点坐标规律即可快速求解，再结合选项选出正确答案。
【解析】抛物线的解析式为$y=x^2 -1$，可整理为顶点式$y=a(x-h)^2 +k$的形式，其中$a=1$，$h=0$，$k=-1$。根据顶点式的性质，顶点坐标为$(h,k)$，因此该抛物线的顶点坐标是$(0,-1)$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】二次函数顶点坐标，抛物线顶点式
【点评】本题考查二次函数顶点坐标的求法，属于基础题型，掌握顶点式的特点即可轻松解答，难度较低。
【难度系数】0.9

2 教材变式题 对于抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^{2}$与抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^{2}-2$,下列说法错误的是（）

A.开口方向均向上
B.抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^{2}-2$是由抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^{2}$向下平移 2 个单位长度得到的
C.对称轴均为$y$轴
D.最低点的纵坐标相同

2. D

【分析】本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图像性质，解题思路是先确定两个抛物线的二次项系数$a$和常数项$k$，再依据二次函数的开口方向、平移规律、对称轴及顶点坐标的性质，逐一分析每个选项，找出错误的说法。
【解析】对于抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2$和$y=\dfrac{1}{3}x^2 -2$：
1. 二次项系数$a=\dfrac{1}{3}＞0$，因此两个抛物线开口方向均向上，故选项A说法正确；
2. 根据二次函数图像平移的“上加下减”规律，抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2$向下平移2个单位长度，得到$y=\dfrac{1}{3}x^2 -2$，故选项B说法正确；
3. 两个抛物线的一次项系数均为0，因此对称轴均为$y$轴（即$x=0$），故选项C说法正确；
4. 抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，最低点纵坐标为0；抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2 -2$的顶点坐标为$(0,-2)$，最低点纵坐标为-2，两者不相同，故选项D说法错误。
【答案】D
【知识点】二次函数图像性质、抛物线平移规律
【点评】本题为教材变式基础题，主要考查二次函数$y=ax^2+k$的核心性质，涉及开口方向、平移、对称轴及顶点坐标的判断，知识点单一且基础，只要掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】0.8

3（易错题）对于二次函数$y=2x^{2}-3$，当$-1≤ x≤2$时，$y$的取值范围是（）

A.$-1≤ y≤5$
B.$-5≤ y≤5$
C.$-3≤ y≤5$
D.$-2≤ y≤5$

3. C
易忽视抛物线的顶点而致错。

【分析】
要确定二次函数在给定区间内的y取值范围，需先明确该二次函数的开口方向、对称轴及顶点位置，再结合x的区间范围，找到函数在该区间内的最小值和最大值：二次函数$y=2x^2-3$开口向上，对称轴为$x=0$，顶点在区间$-1≤x≤2$内，因此最小值在顶点处取得，最大值在区间离对称轴最远的端点处取得。
【解析】
解：对于二次函数$y=2x^2-3$，
∵二次项系数$a=2＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为$x=0$，顶点坐标为$(0,-3)$。
在区间$-1≤x≤2$内：
1. 求最小值：当$x=0$时，函数取得最小值，$y_{min}=2×0^2 -3=-3$；
2. 求区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)^2 -3=2×1-3=-1$；
当$x=2$时，$y=2×2^2 -3=2×4-3=5$；
3. 确定最大值：比较端点函数值，区间内函数最大值为5。
因此，当$-1≤x≤2$时，$y$的取值范围是$-3≤y≤5$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像与性质；函数值的取值范围
【点评】
本题为易错题，易错点是忽略抛物线顶点在给定区间内，直接计算区间端点的函数值，误选A。解题时需先分析二次函数的基本性质，再结合区间范围确定最值，进而得到y的取值范围。
【难度系数】
0.5

4 已知点$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$均在抛物线$y=x^{2}-1$上，则下列说法正确的是（）

A.若$y_{1}=y_{2}$，则$x_{1}=x_{2}$
B.若$x_{1}=-x_{2}$，则$y_{1}=-y_{2}$
C.若$0＜x_{1}＜x_{2}$，则$y_{1}＞y_{2}$
D.若$x_{1}＜x_{2}＜0$，则$y_{1}＞y_{2}$

4. D

【分析】要解决这道题，需先明确抛物线$y=x^2 -1$的核心性质：该抛物线开口向上，对称轴为$y$轴（$x=0$），在对称轴左侧（$x＜0$时），$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而增大。接下来逐一分析每个选项，结合抛物线性质判断正确性。
【解析】选项A：若$y_1=y_2$，代入抛物线方程得$x_1^2 -1 = x_2^2 -1$，化简得$x_1^2=x_2^2$，即$x_1=\pm x_2$，并非一定$x_1=x_2$（例如$x_1=1,x_2=-1$时，$y_1=y_2=0$），故A错误；
选项B：若$x_1=-x_2$，则$y_1=x_1^2 -1=(-x_2)^2 -1=x_2^2 -1=y_2$，即$y_1=y_2$，并非$y_1=-y_2$，故B错误；
选项C：当$0＜x_1＜x_2$时，两点在对称轴右侧，根据抛物线性质，右侧$y$随$x$增大而增大，因此$y_1＜y_2$，故C错误；
选项D：当$x_1＜x_2＜0$时，两点在对称轴左侧，根据抛物线性质，左侧$y$随$x$增大而减小，因此$x$越小$y$越大，即$y_1＞y_2$，故D正确。
【答案】D
【知识点】二次函数的图像与性质、抛物线的增减性
【点评】本题考查二次函数的基础性质，核心是掌握抛物线的对称性和增减性，通过代入验证或图像特征即可判断选项，属于基础题型，需学生熟练掌握二次函数的核心规律。
【难度系数】0.7

5 [2025 上海]将抛物线 $y=3x^{2}$ 向下平移 2 个单位长度所得的抛物线对应的函数解析式为
。

5. $y=3x^{2}-2$

【分析】
要解决抛物线平移的问题，需牢记抛物线上下平移的核心规律：对于抛物线的解析式，上下平移遵循“上加下减”原则，即向下平移$m$个单位时，在原函数的常数项上减去$m$；向上平移则加上$m$。本题是将抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位，只需按“下减”规则调整常数项即可得到结果。
【解析】
根据抛物线上下平移的“上加下减”原则，将抛物线$y=3x^2$向下平移2个单位，只需在原函数的基础上对常数项减2，因此所得抛物线的函数解析式为$y=3x^2 - 2$。
【答案】
$y=3x^2 - 2$
【知识点】
二次函数图像平移
【点评】
本题考查二次函数图像的基础平移规律，属于常规基础题，只要掌握“上加下减”的平移规则就能快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.8

6 已知抛物线 $y=2x^{2}+m^{2}-4m$ 的最低点为 $(0,-4)$,则 $m$ 的值为.

6. 2

【分析】对于抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时开口向上，存在最低点，该点即为抛物线的顶点。本题中抛物线$y=2x^2+m^2-4m$的$a=2＞0$，开口向上，顶点横坐标为$0$，与题目给出的最低点横坐标一致，因此最低点的纵坐标等于$x=0$时的函数值，据此列方程求解$m$。
【解析】把$x=0$代入抛物线$y=2x^2+m^2-4m$，得$y=m^2-4m$。因为抛物线的最低点为$(0,-4)$，所以$m^2-4m=-4$，整理得$m^2-4m+4=0$，即$(m-2)^2=0$，解得$m=2$。
【答案】2
【知识点】二次函数的顶点坐标、抛物线的性质
【点评】本题考查二次函数顶点性质的应用，利用抛物线最低点即顶点的特点，结合顶点纵坐标的计算即可求解，属于基础题型。
【难度系数】0.6

7 已知二次函数的图象以$A(0,1)$为顶点，且过点$B(2,3)$.
(1) 求该二次函数的解析式；
(2) 画出该二次函数的图象；
(3) 若直线$y=-\dfrac{1}{2}x+2$与该二次函数的图象交于$C$，$D$两点(点$C$在点$D$的左侧)，求$△ ACD$的面积.

7. (1) 由题意,可设该二次函数的解析式为 $y=ax^{2}+c(a≠0)$.
将 $A(0,1),B(2,3)$代入,得$\begin{cases}c=1,\\4a+c=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2},\\c=1.\end{cases}$
∴ 该二次函数的解析式为 $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$
(2) 如图所示
(3) 在 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$中,令 $x=0$,则 $y=2$.
∴ 直线 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$ 与 $y$ 轴的交点坐标为$(0,2)$. 令 $-\dfrac{1}{2}x+2=\dfrac{1}{2}x^{2}+1$,解得 $x_1=-2$, $x_2=1$.
∴ 点 $C$ 的横坐标为$-2$,点 $D$ 的横坐标为 $1$.
∴ $S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×(2-1)×|-2|+\dfrac{1}{2}×(2-1)×1=\dfrac{3}{2}$

【分析】
本题分三小问逐步求解：(1) 已知二次函数顶点在y轴上，设顶点式$y=ax^2+c$，代入两点坐标用待定系数法求解析式；(2) 根据二次函数的性质描点连线画图；(3) 先求直线与y轴交点，联立二次函数与直线解析式得交点横坐标，用割补法拆分三角形计算面积。
【解析】
(1) 因为二次函数顶点为$A(0,1)$，故设解析式为$y=ax^2+c(a≠0)$。将$A(0,1)$、$B(2,3)$代入得：
$\begin{cases}c=1 \\4a+c=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2} \\ c=1\end{cases}$，因此二次函数解析式为$y=\dfrac{1}{2}x^2+1$。
(2) 二次函数$y=\dfrac{1}{2}x^2+1$的图象如图所示：

(3) 对于直线$y=-\dfrac{1}{2}x+2$，令$x=0$得$y=2$，即直线与y轴交点为$(0,2)$。联立二次函数与直线解析式：
$\dfrac{1}{2}x^2+1=-\dfrac{1}{2}x+2$
整理得$x^2+x-2=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=1$。因点C在左侧，故C横坐标为$-2$，D横坐标为$1$。用割补法计算$△ ACD$面积：以直线与y轴交点为分界，拆分两个小三角形，底均为$2-1=1$，高分别为$|-2|=2$和$1$，则：
$S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}×1×2+\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{3}{2}$
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x^2+1$；(2) 如图所示：；(3) $\dfrac{3}{2}$
【知识点】
二次函数解析式、二次函数图像、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数的基础应用，涵盖待定系数法求解析式、图象绘制及与直线相交的三角形面积计算，需掌握割补法处理坐标型面积问题，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.5