5. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases} 3x-y=7,\\ ax+b=y\\ \end{cases}$与$\begin{cases} x+by=a,\\ 2x+y=8\\ \end{cases}$的解相同.求$(a+2b)^{2\;024}$的值.

解：根据题意，方程组$\begin{cases} 3x-y=7,\ \ ①\\ ax+b=y\ \ \ ②\\ \end{cases}$与
$\begin{cases} x+by=a,\ \ ③\\ 2x+y=8\ \ ④\\ \end{cases}$的解相同.
将①与④联立，得$\begin{cases} 3x-y=7,\ \ ①\\ 2x+y=8.\ \ ④\\ \end{cases}$
①$+$④，得$5x=15$.
解得$x=3$.
把$x=3$代入①，得$9-y=7$.
解得$y=2$.
把$x=3$，$y=2$代入②与③联立成的方程
组中，得$\begin{cases} 3a+b=2,\ \ ⑤\\ 3+2b=a.\ \ ⑥\\ \end{cases}$
把⑥代入⑤，得$3(3+2b)+b=2$.
解得$b=-1$.
把$b=-1$代入⑥，得$a=1$.
所以$(a+2b)^{{2024}}=(-1)^{{2024}}=1$.

6. 数学活动课上,小云和小辉讨论了老师出示的一道二元一次方程组的问题.

(1)请按照小云的思路求出$m$的值.
(2)请按照小辉的思路求出$m$的值.

解：(1)将①与③联立，得
$\begin{cases} 3x+4y=3,\ \ ①\\ 2x+3y=1.\ \ ③\\ \end{cases}$
①$×2-$③$×3$，得$-y=3$.
解得$y=-3$.
把$y=-3$代入①，得$3x+4×(-3)=3$.
解得$x=5$.
所以$\begin{cases} x=5,\\ y=-3.\\ \end{cases}$
所以$2-3m=x+2y=5+2×(-3)=-1$.
解得$m=1$.
(2)①$+$②，得$4x+6y=5-3m$，
即$2(2x+3y)=5-3m$.
所以$2x+3y=\dfrac{5-3m}{2}$.
又因为$2x+3y=1$，
所以$\dfrac{5-3m}{2}=1$.
解得$m=1$.

7. 规定一种新的运算:$x*y=ax+by$,其中$a,b$是常数.已知$2*1=4$,$-1*3=-9$.
(1)求$a,b$的值.

(2)若求$m,n$的值.

解：(1)因为$2*1=4$，$-1*3=-9$，
所以$\begin{cases} 2a+b=4,\ \ \ ①\\ -a+3b=-9.\ \ ②\\ \end{cases}$
①$+$②$×2$，得$7b=-14$.
解得$b=-2$.
把$b=-2$代入①，得$2a-2=4$.
解得$a=3$.
所以$a=3$，$b=-2$.
(2)由(1)知$x*y=3x-2y$.因为$\begin{cases} m*n=-1,\\ 2m*\dfrac{n}{2}=4,\\ \end{cases}$
所以$\begin{cases} 3m-2n=-1,\ \ ③\\ 6m-n=4.\ \ \ \ ④\\ \end{cases}$
③$×2-$④，得$-3n=-6$.
解得$n=2$.
把$n=2$代入④，得$6m-2=4$.
解得$m=1$.
所以$m=1$，$n=2$.