1. 下列各式不是多项式$a^{3}b-4ab$的因式的是 （）

A.$ab$
B.$a+2$
C.$a-2$
D.$a-4$

D

【分析】
要判断哪个不是多项式的因式，需先对目标多项式进行因式分解，再对比各选项是否属于分解后的因式。解题思路为：先提取多项式的公因式，再利用平方差公式完成因式分解，最后确定各选项是否为分解结果中的因式。
【解析】
对多项式$a^{3}b - 4ab$进行因式分解：
1. 提取公因式$ab$：$a^{3}b - 4ab = ab(a^{2} - 4)$；
2. 利用平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$分解$a^2 -4$：$a^2 -4=(a+2)(a-2)$；
因此，原多项式因式分解结果为$ab(a+2)(a-2)$，其因式包含$ab$、$a+2$、$a-2$，选项中$a-4$不是该多项式的因式。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、平方差公式
【点评】
本题考查多项式的因式分解，需熟练掌握提取公因式法和平方差公式分解因式，属于基础题型，侧重对基本分解方法的应用。
【难度系数】
0.3

2. 小明利用两种不同的方法计算下列图形的面积,并据此写出了一个因式分解的等式,此等式是 ()

A.$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b)$
B.$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$
C.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
D.$2a^2 + 3ab + b^2 = (2a + b)(a + b)$

B

【分析】
要解决本题，需通过两种方法计算图形的面积，利用“面积相等”建立整式乘法与因式分解的对应关系，最终匹配正确等式。首先确定图形的整体长和宽，计算整体面积；再拆分图形为若干小部分，计算各小部分面积之和，让两种面积表达式相等，即可得到目标等式，再对应选项选出答案。
【解析】
1. 计算图形的整体面积：观察图形，整体的长为 $a + b + b = a + 2b$，整体的宽为 $a + b$，因此整体面积为 $(a + 2b)(a + b)$。
2. 计算各小部分的面积和：将图形拆分为6个小图形，分别计算面积后相加：
上方三个小图形面积：$a · a + b · a + b · a = a^2 + ab + ab = a^2 + 2ab$
下方三个小图形面积：$b · b + b · b + a · b = b^2 + b^2 + ab = 2b^2 + ab$
总面积为：$(a^2 + 2ab) + (2b^2 + ab) = a^2 + 3ab + 2b^2$
3. 由面积相等可得：$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解、整式乘法、图形面积计算
【点评】
本题通过图形面积的两种计算方法推导因式分解等式，核心是利用“面积相等”搭建整式乘法与因式分解的桥梁，需准确拆分图形并计算各部分面积，属于中等难度的数形结合题型。
【难度系数】
0.5

3. 因式分解：$ax^2 + 4ax + 4a = \_\_\_\_\_\_$.

$a(x+2)^2$

【分析】
本题是因式分解题，解题思路为：先观察多项式各项，提取公因式，再对剩余式子利用完全平方公式进一步分解。具体步骤：第一步，确定多项式的公因式，各项均含a，先提取公因式；第二步，判断提取公因式后的二次式是否符合完全平方公式，再用公式分解。
【解析】
解：$ax^2 + 4ax + 4a$
$= a(x^2 + 4x + 4)$ （提取公因式a）
$= a(x + 2)^2$ （利用完全平方公式：$m^2 + 2mn + n^2=(m+n)^2$，此处$x^2+4x+4=x^2+2·x·2+2^2=(x+2)^2$）
【答案】
$a(x+2)^2$
【知识点】
因式分解（提公因式法、公式法）
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需遵循“先提公因式，再用公式”的基本步骤，属于常规基础题型，侧重对因式分解核心方法的掌握。
【难度系数】
0.8

4. 因式分解：$(4m^2 + 9)^2 - 144m^2 = \_\_\_\_\_\_$
$\_\_\_\_\_\_.$

(2m+3)²(2m-3)²

【分析】首先观察原式，其结构符合平方差公式的形式（两个整式的平方差），因此先利用平方差公式进行第一次分解；分解后得到的两个二次多项式均符合完全平方公式的特征，再利用完全平方公式进一步分解，确保因式分解彻底，最终得到结果。
【解析】
解：原式$=(4m^2 + 9)^2 - (12m)^2$
根据平方差公式 $a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$（其中$a=4m^2+9$，$b=12m$），分解得：
$=(4m^2 +9 -12m)(4m^2 +9 +12m)$
对两个括号内的多项式整理，均符合完全平方公式 $a^2\pm2ab +b^2=(a\pm b)^2$：
$4m^2 -12m +9=(2m -3)^2$，$4m^2 +12m +9=(2m +3)^2$
因此原式$=(2m+3)^2(2m-3)^2$
【答案】$(2m+3)^2(2m-3)^2$
【知识点】因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】本题考查因式分解的公式法应用，需熟练掌握平方差公式与完全平方公式的结构特征，分解时要遵循“先整体、后局部，分解彻底”的原则，是初中因式分解的基础题型。
【难度系数】0.6

三、解答题
5. 阅读:分解因式 $x^2+2x-3$.
解:原式$=x^2+2x+1-1-3$
$\ \ \ \ \ \ \ =(x^2+2x+1)-4$
$\ \ \ \ \ \ \ =(x+1)^2-4$
$\ \ \ \ \ \ \ =(x+1+2)(x+1-2)$
$\ \ \ \ \ \ \ =(x+3)(x-1)$.
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”。此题为用配方法分解因式，体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题。
因式分解:
(1) $4a^2+4a-15$;
(2) $m^4+m^2n^2+n^4$.

(1) $\boldsymbol{(2a+5)(2a-3)}$；(2) $\boldsymbol{(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)}$

【分析】
本题考查用配方法分解因式，核心思路是通过添加适当的项，使多项式的部分项构成完全平方式，再利用平方差公式（$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$）分解因式。解题时需注意：添加项后要减去相同项保证原式值不变，第(2)题需灵活调整项的构造，准确配出完全平方式。
【解析】
(1) 对$4a^2 + 4a -15$配完全平方：
原式$=(4a^2 +4a) -15$
$=(4a^2 +4a +1) -1 -15$（加1凑成$(2a+1)^2$，减1保持原式值不变）
$=(2a+1)^2 - 16$
$=(2a+1)^2 - 4^2$
根据平方差公式：$=(2a+1 +4)(2a+1 -4)=(2a+5)(2a-3)$
(2) 对$m^4 + m^2n^2 +n^4$配完全平方：
原式$=m^4 +2m^2n^2 +n^4 -m^2n^2$（加$2m^2n^2$凑成$(m^2+n^2)^2$，减$m^2n^2$保持原式值不变）
$=(m^2 +n^2)^2 - (mn)^2$
根据平方差公式：$=(m^2 +n^2 + mn)(m^2 +n^2 - mn)=(m^2 +mn +n^2)(m^2 -mn +n^2)$
【答案】
(1) $(2a+5)(2a-3)$；(2) $(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)$
【知识点】
配方法分解因式、平方差公式因式分解
【点评】
本题是配方法分解因式的基础应用，重点考查配方法的构造技巧与平方差公式的运用，第(2)题需灵活调整项的变形，对学生的代数变形能力有一定要求，整体难度适中。
【难度系数】
0.5

6. [阅读材料]对于多项式$x^2 + x - 2$，如果我们把$x=1$代入$x^2 + x - 2$，发现此多项式的值为0，这时可以断定多项式$x^2 + x - 2$中有因式$(x-1)$，可设$x^2 + x - 2 = (x-1)(x+m)$（$m$为常数），通过展开多项式或代入合适的$x$的值即可求出$m$的值，我们把这种分解因式的方法叫“试根法”。
（1）请完成下列因式分解：$x^2 + x - 2 = \_\_\_\_\_\_$；
（2）若多项式$x^2 + mx - n$（$m,n$为常数）分解因式后，有一个因式是$(x-2)$，求$2m - n$的值；
（3）多项式$x^3 + 2x^2 - 3$用“试根法”分解因式得$(x+a)(x^2 + bx + c)$（$a,b,c$为常数），请直接写出$a,b,c$的值。

（1）$\boldsymbol{(x-1)(x+2)}$；（2）$\boldsymbol{-4}$；（3）$\boldsymbol{a=-1,b=3,c=3}$

【分析】
本题考查利用“试根法”分解因式，核心思路是：若多项式当$x=a$时的值为0，则该多项式含有因式$(x-a)$，再通过待定系数法对比多项式系数求解未知参数。
（1）已知二次多项式有因式$(x-1)$，设分解式为两个一次因式乘积，展开后对比系数求未知常数；
（2）多项式有因式$(x-2)$，则$x=2$时多项式值为0，代入即可求$2m-n$；
（3）先试根找到使三次多项式值为0的$x$确定$a$，再展开分解式对比系数求$b、c$。
【解析】
（1）设$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + m)$，将右边展开得：$x^2 + (m - 1)x - m$，对比左右两边多项式系数：
一次项系数：$m - 1 = 1$，常数项：$-m = -2$，解得$m = 2$，因此$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$；
（2）因为多项式$x^2 + mx - n$有因式$(x - 2)$，所以当$x = 2$时，多项式的值为0，代入得：
$2^2 + m×2 - n = 0$，即$4 + 2m - n = 0$，移项得$2m - n = -4$；
（3）对多项式$x^3 + 2x^2 - 3$试根：当$x = 1$时，$1^3 + 2×1^2 - 3 = 0$，故$a = -1$；
设$x^3 + 2x^2 - 3 = (x - 1)(x^2 + bx + c)$，展开右边得：$x^3 + (b - 1)x^2 + (c - b)x - c$，对比左右两边系数：
$x^2$项：$b - 1 = 2$，解得$b = 3$；
常数项：$-c = -3$，解得$c = 3$；
一次项系数：$c - b = 3 - 3 = 0$，与左边多项式无一次项一致，符合条件，因此$a = -1, b = 3, c = 3$。
【答案】
（1）$(x - 1)(x + 2)$；（2）$-4$；（3）$a=-1,b=3,c=3$
【知识点】
因式分解（试根法），待定系数法，多项式系数对比
【点评】
本题围绕“试根法”逐步展开，从二次式分解到含特定因式的求值，再到三次式分解，考查对试根法和待定系数法的应用，是因式分解方法的典型应用，需掌握试根技巧与系数匹配方法。
【难度系数】
0.5