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9. 如图，大拇指与小指尽量张开时，两指间的距离称为指距. 某项研究表明，一般情况下人的身高$y$（cm）是指距$x$（cm）的一次函数. 下表是一组数据：
（1）求$y$与$x$的函数关系式（不要求写出$x$的取值范围）.
（2）如果李华的指距为22 cm，那么他的身高为多少？
（1）求$y$与$x$的函数关系式（不要求写出$x$的取值范围）.
（2）如果李华的指距为22 cm，那么他的身高为多少？
答案
（1）$y=9x -20$；（2）178cm
解析
【分析】
（1）题目明确说明身高$y$是指距$x$的一次函数，因此先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从给出的表格中选取两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值，即可确定$y$与$x$的函数关系式。
（2）第二问已知李华的指距$x=22\mathrm{cm}$，直接将$x=22$代入第一问求出的函数关系式，计算出对应的$y$值就是他的身高。
【解析】
解：（1）设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中两组对应值$\begin{cases}x=20\\y=160\end{cases}$和$\begin{cases}x=21\\y=169\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k + b = 160 \\21k + b = 169 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$k=9$，
将$k=9$代入$20k + b = 160$，得：$20×9 + b = 160$，解得$b=-20$，
所以$y$与$x$的函数关系式为$y=9x -20$。
（2）当$x=22$时，代入$y=9x -20$得：
$y=9×22 -20=198-20=178$（$\mathrm{cm}$）
【答案】
（1）$y=9x -20$；（2）$178\mathrm{cm}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，解题核心是熟练运用待定系数法求函数解析式，再代入自变量的值求对应的函数值，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
（1）题目明确说明身高$y$是指距$x$的一次函数，因此先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从给出的表格中选取两组$x$、$y$的对应值代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$和$b$的值，即可确定$y$与$x$的函数关系式。
（2）第二问已知李华的指距$x=22\mathrm{cm}$，直接将$x=22$代入第一问求出的函数关系式，计算出对应的$y$值就是他的身高。
【解析】
解：（1）设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b$（$k≠0$），
选取表格中两组对应值$\begin{cases}x=20\\y=160\end{cases}$和$\begin{cases}x=21\\y=169\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}20k + b = 160 \\21k + b = 169 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得：$k=9$，
将$k=9$代入$20k + b = 160$，得：$20×9 + b = 160$，解得$b=-20$，
所以$y$与$x$的函数关系式为$y=9x -20$。
（2）当$x=22$时，代入$y=9x -20$得：
$y=9×22 -20=198-20=178$（$\mathrm{cm}$）
【答案】
（1）$y=9x -20$；（2）$178\mathrm{cm}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，二元一次方程组的解法
【点评】
本题结合生活实际考查一次函数的应用，解题核心是熟练运用待定系数法求函数解析式，再代入自变量的值求对应的函数值，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
10. 已知一次函数的图象经过点$A (2, 2)$和点$B (-2, -4)$.
（1）求直线$AB$的函数解析式.
（2）若直线$AB$与$x$轴交于点$C$，与$y$轴交于点$D$，求出直线$AB$与坐标轴所围成的三角形的面积.
（1）求直线$AB$的函数解析式.
（2）若直线$AB$与$x$轴交于点$C$，与$y$轴交于点$D$，求出直线$AB$与坐标轴所围成的三角形的面积.
答案
（1）$y = \frac{3}{2}x - 1$；（2）$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
（1）求一次函数解析式优先使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可确定解析式。
（2）求直线与坐标轴围成的三角形面积，首先要得到直线与$x$轴、$y$轴的交点坐标：$x$轴上的点纵坐标为0，$y$轴上的点横坐标为0，代入已求出的解析式即可得到两个交点坐标，两个交点到原点的距离就是直角三角形的两条直角边长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）设直线$AB$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(2,2)$、$B(-2,-4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k + b = 2 \\-2k + b = -4 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得$4k=6$，解得$k=\frac{3}{2}$，
将$k=\frac{3}{2}$代入$2k + b = 2$，得$3 + b = 2$，解得$b=-1$，
所以直线$AB$的函数解析式为$y=\frac{3}{2}x -1$。
（2）求直线与$x$轴的交点$C$：令$y=0$，则$\frac{3}{2}x -1=0$，解得$x=\frac{2}{3}$，即$C(\frac{2}{3},0)$，$OC=\frac{2}{3}$；
求直线与$y$轴的交点$D$：令$x=0$，则$y=-1$，即$D(0,-1)$，$OD=1$。
直线与坐标轴围成的$△ OCD$是直角三角形，其面积为：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC × OD=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×1=\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）$y = \frac{3}{2}x - 1$；（2）$\frac{1}{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考察待定系数法的应用和一次函数与坐标轴交点的计算，掌握这类基础题型是解决一次函数综合题的前提。
【难度系数】
0.75
（1）求一次函数解析式优先使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将已知的两个点的坐标代入解析式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值即可确定解析式。
（2）求直线与坐标轴围成的三角形面积，首先要得到直线与$x$轴、$y$轴的交点坐标：$x$轴上的点纵坐标为0，$y$轴上的点横坐标为0，代入已求出的解析式即可得到两个交点坐标，两个交点到原点的距离就是直角三角形的两条直角边长，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）设直线$AB$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(2,2)$、$B(-2,-4)$代入解析式，得：
$\begin{cases}2k + b = 2 \\-2k + b = -4 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得$4k=6$，解得$k=\frac{3}{2}$，
将$k=\frac{3}{2}$代入$2k + b = 2$，得$3 + b = 2$，解得$b=-1$，
所以直线$AB$的函数解析式为$y=\frac{3}{2}x -1$。
（2）求直线与$x$轴的交点$C$：令$y=0$，则$\frac{3}{2}x -1=0$，解得$x=\frac{2}{3}$，即$C(\frac{2}{3},0)$，$OC=\frac{2}{3}$；
求直线与$y$轴的交点$D$：令$x=0$，则$y=-1$，即$D(0,-1)$，$OD=1$。
直线与坐标轴围成的$△ OCD$是直角三角形，其面积为：
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC × OD=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×1=\frac{1}{3}$。
【答案】
（1）$y = \frac{3}{2}x - 1$；（2）$\frac{1}{3}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考察待定系数法的应用和一次函数与坐标轴交点的计算，掌握这类基础题型是解决一次函数综合题的前提。
【难度系数】
0.75
