1 计算$\dfrac{m}{m+3}-\dfrac{6}{9-m^2}÷\dfrac{2}{m-3}$的结果是（）

A.$1$
B.$\dfrac{m-3}{m+3}$
C.$\dfrac{m+3}{m-3}$
D.$\dfrac{3m}{m+3}$

1. A

【分析】本题是分式的混合运算，需遵循“先算除法，再算减法”的运算顺序。首先对除法项中的分母利用平方差公式因式分解，将除法转化为乘法后约分，再与前面的分式通分计算，最终得出结果对应选项。
【解析】解：原式 = $\dfrac{m}{m+3} - \dfrac{6}{9 - m^2} ÷ \dfrac{2}{m - 3}$
第一步，处理除法：除以一个分式等于乘以它的倒数，且利用平方差公式因式分解$9 - m^2 = -(m + 3)(m - 3)$，则：
原式 = $\dfrac{m}{m+3} - \dfrac{6}{-(m + 3)(m - 3)} × \dfrac{m - 3}{2}$
第二步，约分：分子分母的公因式约去，6与2约分为3，$(m - 3)$约去，得：
原式 = $\dfrac{m}{m+3} - (-\dfrac{3}{m + 3})$
第三步，计算减法：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：
原式 = $\dfrac{m + 3}{m + 3} = 1$
所以结果为1，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式的混合运算、平方差公式因式分解
【点评】本题考查分式的混合运算，核心是掌握运算顺序、因式分解和约分的方法，注意处理符号问题，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7

2 计算$\dfrac{x}{y^{3}} ÷ \dfrac{2x}{y} - (\dfrac{x}{2y})^{2} · \dfrac{y}{x}$的结果是（）

A.$\dfrac{2-y}{4y}$
B.$\dfrac{1}{4y^{2}}$
C.$\dfrac{1}{4y}$
D.$\dfrac{2-xy}{4y^{2}}$

2. D

【分析】本题考查分式的混合运算，解题思路是：先遵循分式运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减；计算除法时转化为乘法，计算乘方时按乘方法则，运算中注意约分，最后通分计算减法，化简结果后对应选项即可。
【解析】解：原式 = $\dfrac{x}{y^3} ÷ \dfrac{2x}{y} - (\dfrac{x}{2y})^2 · \dfrac{y}{x}$
1. 计算除法：将除法转化为乘法，约分后得：
$\dfrac{x}{y^3} × \dfrac{y}{2x} = \dfrac{1}{2y^2}$；
2. 计算乘方与乘法：先算乘方，再约分计算乘法得：
$(\dfrac{x}{2y})^2 = \dfrac{x^2}{4y^2}$，则 $\dfrac{x^2}{4y^2} · \dfrac{y}{x} = \dfrac{x}{4y}$；
3. 计算减法：通分后化简得：
$\dfrac{1}{2y^2} - \dfrac{x}{4y} = \dfrac{2}{4y^2} - \dfrac{xy}{4y^2} = \dfrac{2 - xy}{4y^2}$；
【答案】D
【知识点】分式的混合运算、分式的乘除运算、分式的乘方运算
【点评】本题是分式混合运算的基础题，关键是掌握运算顺序和运算法则，运算中需注意约分、通分的准确性，避免计算错误。
【难度系数】0.5

3 计算$(1+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{x-1}{x^2-2x}$的结果是（）

A.$4x$
B.$3x$
C.$2x$
D.$x$

3. D

【分析】这是分式的混合运算题，解题思路为：先计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，对分母进行因式分解后，通过约分简化式子，最终得出结果。具体步骤：①通分计算括号内的和；②将除法运算转化为乘法运算（乘以除数的倒数）；③对多项式因式分解；④约去分子分母的公因式得到结果。
【解析】解：
$\begin{aligned}&(1+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{x-1}{x^2-2x}\\=&(\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{1}{x-2})÷\dfrac{x-1}{x(x-2)}\\=&\dfrac{x-1}{x-2}×\dfrac{x(x-2)}{x-1}\\=&x\end{aligned}$
【答案】D
【知识点】分式的混合运算、因式分解、约分
【点评】本题考查分式的混合运算，核心是掌握分式运算的顺序和约分方法，通过通分、因式分解简化运算，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

4 化简：$(1-\dfrac{1}{x+1})·\dfrac{x^2-1}{x}=$.

4. $x-1$

【分析】
化简该式时，需遵循分式运算的基本规则：先计算括号内的分式，通过通分简化括号内的式子；再对后续的多项式利用平方差公式因式分解；最后将两个分式相乘，通过约分得到最简结果。
【解析】
解：
1. 计算括号内的部分：
$1 - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x+1}{x+1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(x+1)-1}{x+1} = \dfrac{x}{x+1}$
2. 对$x^2 -1$因式分解：
$x^2 -1 = (x+1)(x-1)$
3. 代入原式相乘并约分：
$\dfrac{x}{x+1} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{x} = x -1$
【答案】
$x -1$
【知识点】
分式的化简、平方差公式
【点评】
本题是分式化简的基础题型，主要考查分式的通分、因式分解和约分的基本运算，步骤明确，难度较低，适合巩固分式运算的基础知识点。
【难度系数】
0.8

5 教材 P153 例3 变式 计算：
(1) $(\dfrac{2n}{3m})^{2}+\dfrac{n}{m}÷\dfrac{m}{3}$；
(2) $[2025$ 宜宾$](\dfrac{x^{2}}{x-1}-\dfrac{1}{x-1})·\dfrac{1}{x+1}.$

5. (1) $\dfrac{4n^2+27n}{9m^2}$ (2) 1

【分析】
对于第(1)题，分式混合运算需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序：第一步先计算分式的乘方，分子、分母分别乘方；第二步将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），计算分式的除法；第三步对两个分式通分后相加，得到结果。
对于第(2)题，先算括号内的同分母分式减法，分母不变、分子相减，再对分子因式分解（平方差公式），约分后与后面的分式相乘，得到最终结果。
【解析】
(1) 先算乘方和除法：
$(\dfrac{2n}{3m})^2 = \dfrac{(2n)^2}{(3m)^2} = \dfrac{4n^2}{9m^2}$，
$\dfrac{n}{m} ÷ \dfrac{m}{3} = \dfrac{n}{m} × \dfrac{3}{m} = \dfrac{3n}{m^2}$，
再通分相加：$\dfrac{4n^2}{9m^2} + \dfrac{3n}{m^2} = \dfrac{4n^2}{9m^2} + \dfrac{27n}{9m^2} = \dfrac{4n^2 + 27n}{9m^2}$；
(2) 先算括号内的减法：
$\dfrac{x^2}{x-1} - \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1}$，
利用平方差公式因式分解分子：$x^2 -1 = (x-1)(x+1)$，
约分后相乘：$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} × \dfrac{1}{x+1} = (x+1) × \dfrac{1}{x+1} = 1$；
【答案】
(1) $\dfrac{4n^2+27n}{9m^2}$；(2) $1$
【知识点】
分式的混合运算，分式的加减，分式的乘除
【点评】
本题是教材例题的变式题，考查分式混合运算的基本法则，需注意运算顺序、通分约分及因式分解的应用，属于基础运算题，能巩固分式运算的核心知识点。
【难度系数】
0.7

6 [2025 烟台]先化简,再求值:$(2+m+\dfrac{4}{m-2})÷\dfrac{m}{3m-6}$,其中$m=(-1)^{2\,025}$.

6. 原式$=\dfrac{m^2-4+4}{m-2} ÷ \dfrac{m}{3(m-2)} = \dfrac{m^2}{m-2} · \dfrac{3(m-2)}{m} = 3m$. 当$m=(-1)^{2025}=-1$时,原式$=3×(-1)=-3$

【分析】先对括号内的整式与分式进行通分合并，再将分式除法转化为乘法，利用因式分解后约分得到最简式；最后代入m的值计算结果，注意m是(-1)的奇数次方，结果为-1。
【解析】原式$=\dfrac{(2+m)(m-2)+4}{m-2} ÷ \dfrac{m}{3(m-2)} = \dfrac{m^2 -4 +4}{m-2} · \dfrac{3(m-2)}{m} = \dfrac{m^2}{m-2} · \dfrac{3(m-2)}{m} = 3m$。因为$m=(-1)^{2025}=-1$，所以原式$=3×(-1)=-3$。
【答案】-3
【知识点】分式的化简求值、分式通分约分
【点评】本题是分式化简求值的基础题型，考查分式运算的基本法则，解题关键是正确通分、约分，计算时需注意符号和因式分解的应用，难度适中。
【难度系数】0.6

7 若$(A-\dfrac{3}{a-1})·\dfrac{3a-3}{a+2}$的化简结果为$3a-6$,则整式$A$为（）

A.$-a+1$
B.$a-1$
C.$-a-1$
D.$a+1$

7. D

【分析】首先根据题意将等式变形，把整式A单独分离出来，再通过分式的乘除、加减运算逐步化简，最终求出A的表达式，对比选项得到答案。
【解析】由题意可得：
$(A - \frac{3}{a-1}) · \frac{3a-3}{a+2} = 3a -6$
将等式两边同时除以$\frac{3a-3}{a+2}$，得：
$A - \frac{3}{a-1} = (3a -6) ÷ \frac{3a-3}{a+2}$
对右边式子因式分解并计算：
$3a-6=3(a-2)$，$3a-3=3(a-1)$，则：
$(3a -6) ÷ \frac{3a-3}{a+2} = 3(a-2) · \frac{a+2}{3(a-1)} = \frac{(a-2)(a+2)}{a-1} = \frac{a^2 -4}{a-1}$
因此：
$A = \frac{a^2 -4}{a-1} + \frac{3}{a-1} = \frac{a^2 -4 +3}{a-1} = \frac{a^2 -1}{a-1} = \frac{(a-1)(a+1)}{a-1} = a+1$
【答案】D
【知识点】分式的混合运算、因式分解的应用
【点评】本题考查分式的运算，核心是通过等式变形分离出A，再利用因式分解简化分式运算，属于基础题型。
【难度系数】0.5