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9.多项式$x^4 + y^m -25$的次数是4，那么$m$的值不可能是(
A.2
B.3
C.4
D.5
D
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
9.D
解析
【分析】
解题首先要明确多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。我们先拆分多项式的所有项，分别确定每一项的次数，再结合题目给出的多项式次数为4的条件，推导m的取值范围，就能找出不可能的取值。
【解析】
根据多项式次数的定义：多项式里，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。
先分析多项式$x^4 + y^m -25$各部分的次数：
1. 项$x^4$的次数是4；
2. 项$y^m$的次数是$m$；
3. 常数项$-25$的次数是0。
已知该多项式的次数是4，说明多项式中最高次项的次数为4，因此$y^m$的次数$m$不能超过4，即$m≤4$。
观察选项：A选项2、B选项3、C选项4均满足$m≤4$的要求；D选项5＞4，若$m=5$，此时多项式最高次项为$y^5$，次数为5，不符合题意，因此m不可能是5。
【答案】
D
【知识点】
多项式的次数、单项式的次数
【点评】
本题为基础概念考查题，核心是对多项式次数定义的理解，解题时要注意最高次项可以有多个，其余项的次数只要小于等于最高次数即可，易错点是误认为最高次项只能存在一项。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确多项式次数的定义：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数。我们先拆分多项式的所有项，分别确定每一项的次数，再结合题目给出的多项式次数为4的条件，推导m的取值范围，就能找出不可能的取值。
【解析】
根据多项式次数的定义：多项式里，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。
先分析多项式$x^4 + y^m -25$各部分的次数：
1. 项$x^4$的次数是4；
2. 项$y^m$的次数是$m$；
3. 常数项$-25$的次数是0。
已知该多项式的次数是4，说明多项式中最高次项的次数为4，因此$y^m$的次数$m$不能超过4，即$m≤4$。
观察选项：A选项2、B选项3、C选项4均满足$m≤4$的要求；D选项5＞4，若$m=5$，此时多项式最高次项为$y^5$，次数为5，不符合题意，因此m不可能是5。
【答案】
D
【知识点】
多项式的次数、单项式的次数
【点评】
本题为基础概念考查题，核心是对多项式次数定义的理解，解题时要注意最高次项可以有多个，其余项的次数只要小于等于最高次数即可，易错点是误认为最高次项只能存在一项。
【难度系数】
0.8
10. [2026扬州期末]如图，某同学笔记本上的多项式未记录完整，若要补充完整这个多项式，横线上不能填写的是(
−xy+是一个三次三项式.
A.$x^3$
B.$y^3$
C.$2^3$
D.$xyz$
C
)−xy+是一个三次三项式.
A.$x^3$
B.$y^3$
C.$2^3$
D.$xyz$
答案
10.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆三次三项式的定义：一是多项式中次数最高的项的次数为3，二是多项式合并同类项后共有3个项。我们只需逐个判断每个选项填入横线后，是否满足三次三项式的要求，找出不符合要求的选项即可。
【解析】
首先明确相关概念：①单项式的次数：单项式中所有字母的指数和，常数项的次数为0；②多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数；③多项式的项数：多项式中所含单项式的个数（合并同类项后）。
已知式子是三项式，因此只需保证填入横线的项能让整个多项式的最高次数为3即可：
选项A：$x^3$的次数是3，填入后最高次项为$x^3$，次数为3，符合三次三项式的要求；
选项B：$y^3$的次数是3，填入后最高次项为$y^3$，次数为3，符合三次三项式的要求；
选项C：$2^3=8$，是常数项，次数为0，填入后最高次项为$-xy$，次数是$1+1=2$，整个多项式最高次数为2，不符合三次多项式的要求；
选项D：$xyz$的次数是$1+1+1=3$，填入后最高次项为$xyz$，次数为3，符合三次三项式的要求。
因此横线上不能填写的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数，多项式的项数，单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握多项式次数、项数的判断标准，注意不要混淆单项式次数和多项式次数的计算方法，同时要清楚常数项的次数为0。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆三次三项式的定义：一是多项式中次数最高的项的次数为3，二是多项式合并同类项后共有3个项。我们只需逐个判断每个选项填入横线后，是否满足三次三项式的要求，找出不符合要求的选项即可。
【解析】
首先明确相关概念：①单项式的次数：单项式中所有字母的指数和，常数项的次数为0；②多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数；③多项式的项数：多项式中所含单项式的个数（合并同类项后）。
已知式子是三项式，因此只需保证填入横线的项能让整个多项式的最高次数为3即可：
选项A：$x^3$的次数是3，填入后最高次项为$x^3$，次数为3，符合三次三项式的要求；
选项B：$y^3$的次数是3，填入后最高次项为$y^3$，次数为3，符合三次三项式的要求；
选项C：$2^3=8$，是常数项，次数为0，填入后最高次项为$-xy$，次数是$1+1=2$，整个多项式最高次数为2，不符合三次多项式的要求；
选项D：$xyz$的次数是$1+1+1=3$，填入后最高次项为$xyz$，次数为3，符合三次三项式的要求。
因此横线上不能填写的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
多项式的次数，多项式的项数，单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握多项式次数、项数的判断标准，注意不要混淆单项式次数和多项式次数的计算方法，同时要清楚常数项的次数为0。
【难度系数】
0.8
11. 新考法 [2026合肥期中] 定义:若一个多项式有两项且两项的次数相同,则这样的多项式就叫作“齐次二项式”.若关于$a,b$的多项式$-2a^{m}b^{3}+na^{3}b^{2}$是“齐次二项式”,在数轴上表示$n$的点在表示$-2$的点的右侧且距离为5个单位长度,则$m^{n}=$
8
.答案
11.8
解析
【分析】
解题分三步进行：第一步先理解“齐次二项式”的定义，即多项式的两项次数相同，结合单项式次数的计算方法求出m的值；第二步根据数轴上点的位置与距离的关系，计算出n的值，同时保证n不为0以满足二项式的要求；最后将m、n的值代入$m^n$计算结果即可。
【解析】
1. 求m的值：
根据“齐次二项式”的定义，两项的次数相等。
单项式的次数为所有字母指数的和：
第一项$-2a^{m}b^{3}$的次数为$m+3$，
第二项$na^{3}b^{2}$的次数为$3+2=5$，
因此列方程：$m+3=5$，解得$m=2$。
2. 求n的值：
数轴上表示n的点在表示$-2$的点右侧，且距离为5个单位长度，数轴右侧的数比左侧大，因此：
$n = -2 + 5 = 3$，此时$n≠0$，多项式为二项式，符合题意。
3. 计算$m^{n}$：
将$m=2$，$n=3$代入得：$m^{n}=2^{3}=8$。
【答案】
8
【知识点】
单项式的次数、数轴的应用、乘方运算
【点评】
本题结合新定义考查基础知识点的综合应用，解题核心是准确理解新定义的规则，结合数轴性质求出参数，再代入计算，注重对基础概念和运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题分三步进行：第一步先理解“齐次二项式”的定义，即多项式的两项次数相同，结合单项式次数的计算方法求出m的值；第二步根据数轴上点的位置与距离的关系，计算出n的值，同时保证n不为0以满足二项式的要求；最后将m、n的值代入$m^n$计算结果即可。
【解析】
1. 求m的值：
根据“齐次二项式”的定义，两项的次数相等。
单项式的次数为所有字母指数的和：
第一项$-2a^{m}b^{3}$的次数为$m+3$，
第二项$na^{3}b^{2}$的次数为$3+2=5$，
因此列方程：$m+3=5$，解得$m=2$。
2. 求n的值：
数轴上表示n的点在表示$-2$的点右侧，且距离为5个单位长度，数轴右侧的数比左侧大，因此：
$n = -2 + 5 = 3$，此时$n≠0$，多项式为二项式，符合题意。
3. 计算$m^{n}$：
将$m=2$，$n=3$代入得：$m^{n}=2^{3}=8$。
【答案】
8
【知识点】
单项式的次数、数轴的应用、乘方运算
【点评】
本题结合新定义考查基础知识点的综合应用，解题核心是准确理解新定义的规则，结合数轴性质求出参数，再代入计算，注重对基础概念和运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x,y$的多项式$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2 + xy -4x^3 +1$($m$是自然数).
(1)当$m=1$时,该多项式是
(2)若该多项式是八次多项式,且单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与该多项式的次数相同,则$(-m)^3 +2n$的值为
(1)当$m=1$时,该多项式是
四
次四
项式；(2)若该多项式是八次多项式,且单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与该多项式的次数相同,则$(-m)^3 +2n$的值为
$-119$
.答案
12.(1)四;四 (2)$-119$
解析
【分析】
（1）解决第一问需先将m=1代入多项式，先确定多项式中每一项的次数，找到最高次项的次数即为多项式的次数，再数出多项式中单项式的总个数即为项数；
（2）解决第二问首先要明确：多项式的次数是次数最高项的次数，观察多项式可知除第一项外其余项的次数均小于8，因此第一项的次数为8，据此列方程求出m的值；再根据单项式的次数是所有字母指数的和，且该单项式次数和多项式次数相同，列方程求出n的值，最后将m、n代入代数式计算即可。
【解析】
（1）当$m=1$时，多项式第一项为$\frac{1}{5}x^{1+1}y^2=\frac{1}{5}x^2y^2$，该项次数为$2+2=4$；
该多项式的项分别为$\frac{1}{5}x^2y^2$、$xy$、$-4x^3$、$1$，共4项，最高次项次数为4，因此该多项式是四次四项式。
（2）已知该多项式是八次多项式，观察多项式各项：$xy$次数为2，$-4x^3$次数为3，常数项1次数为0，因此只有第一项为最高次项，次数为8：
即$(m+1)+2=8$，解得$m=5$；
又因为单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与多项式次数相同，即单项式次数也为8，代入$m=5$得：
$2n + (5-3)=8$，即$2n+2=8$，解得$n=3$；
将$m=5$、$n=3$代入$(-m)^3 +2n$得：
$(-5)^3 +2×3=-125+6=-119$。
【答案】
(1)四；四 (2)$-119$
【知识点】
多项式的项与次数；单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题重点考查整式相关概念的应用，解题核心是区分清楚多项式次数、单项式次数的定义，避免概念混淆出错，属于基础概念的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问需先将m=1代入多项式，先确定多项式中每一项的次数，找到最高次项的次数即为多项式的次数，再数出多项式中单项式的总个数即为项数；
（2）解决第二问首先要明确：多项式的次数是次数最高项的次数，观察多项式可知除第一项外其余项的次数均小于8，因此第一项的次数为8，据此列方程求出m的值；再根据单项式的次数是所有字母指数的和，且该单项式次数和多项式次数相同，列方程求出n的值，最后将m、n代入代数式计算即可。
【解析】
（1）当$m=1$时，多项式第一项为$\frac{1}{5}x^{1+1}y^2=\frac{1}{5}x^2y^2$，该项次数为$2+2=4$；
该多项式的项分别为$\frac{1}{5}x^2y^2$、$xy$、$-4x^3$、$1$，共4项，最高次项次数为4，因此该多项式是四次四项式。
（2）已知该多项式是八次多项式，观察多项式各项：$xy$次数为2，$-4x^3$次数为3，常数项1次数为0，因此只有第一项为最高次项，次数为8：
即$(m+1)+2=8$，解得$m=5$；
又因为单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与多项式次数相同，即单项式次数也为8，代入$m=5$得：
$2n + (5-3)=8$，即$2n+2=8$，解得$n=3$；
将$m=5$、$n=3$代入$(-m)^3 +2n$得：
$(-5)^3 +2×3=-125+6=-119$。
【答案】
(1)四；四 (2)$-119$
【知识点】
多项式的项与次数；单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题重点考查整式相关概念的应用，解题核心是区分清楚多项式次数、单项式次数的定义，避免概念混淆出错，属于基础概念的常规考查题型。
【难度系数】
0.8
13.如图,一截钢管的外半径为$R$ cm,内半径为$r$ cm,高为$a$ cm,请用代数式表示钢管的侧面积和体积.它们是整式吗?如果是,请分别指出它们是单项式还是多项式.
答案
13.解：由题意，可知钢管的底面外圆的周长为$2π R$ cm，所以钢管的侧面积为$2π Ra\ \mathrm{cm}^2$。
钢管的体积为$(π R^2a-π r^2a)\ \mathrm{cm}^3$。
它们都是整式，$2π Ra$是单项式，$π R^2a-π r^2a$是多项式。
钢管的体积为$(π R^2a-π r^2a)\ \mathrm{cm}^3$。
它们都是整式，$2π Ra$是单项式，$π R^2a-π r^2a$是多项式。
解析
【分析】
解题时可分三步思考：1. 求钢管侧面积：钢管的侧面积就是外圆柱的侧面积，回忆圆柱侧面积公式“侧面积=底面周长×高”，代入外半径R和高a计算即可；2. 求钢管体积：钢管是空心结构，体积等于外圆柱的体积减去内部空心圆柱的体积，回忆圆柱体积公式“体积=底面积×高”，分别计算外、内圆柱体积再作差；3. 判断整式类型：先回忆整式、单项式、多项式的定义，再对照得到的两个代数式判断归属即可。
【解析】
解：①计算侧面积：
圆柱侧面积公式为底面周长×高，钢管外底面圆的周长为$2π R$ cm，高为$a$ cm，
因此钢管的侧面积为$2π R × a = 2π Ra\ \mathrm{cm}^2$。
②计算体积：
圆柱体积公式为底面积×高，外圆柱体积为$π R^2 × a = π R^2 a\ \mathrm{cm}^3$，内部空心圆柱体积为$π r^2 × a = π r^2 a\ \mathrm{cm}^3$，
因此钢管的体积为$π R^2 a - π r^2 a\ \mathrm{cm}^3$。
③判断整式类型：
整式包括单项式和多项式，其中由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，几个单项式的和组成的代数式是多项式。
$2π Ra$是数$2π$与字母$R、a$的乘积，属于单项式，是整式；$π R^2 a - π r^2 a$是单项式$π R^2 a$和$-π r^2 a$的和，属于多项式，是整式。
【答案】
钢管的侧面积为$2π Ra\ \mathrm{cm}^2$，体积为$(π R^2a-π r^2a)\ \mathrm{cm}^3$；它们都是整式，$2π Ra$是单项式，$π R^2a-π r^2a$是多项式。
【知识点】
圆柱的侧面积与体积计算，整式的定义，单项式与多项式的区分
【点评】
本题结合空心圆柱的相关计算考查整式的分类，需要熟练掌握圆柱的运算公式，同时牢记整式、单项式、多项式的概念，作答时注意不要漏写单位，判断代数式类型时注意$π$是常数不是字母。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：1. 求钢管侧面积：钢管的侧面积就是外圆柱的侧面积，回忆圆柱侧面积公式“侧面积=底面周长×高”，代入外半径R和高a计算即可；2. 求钢管体积：钢管是空心结构，体积等于外圆柱的体积减去内部空心圆柱的体积，回忆圆柱体积公式“体积=底面积×高”，分别计算外、内圆柱体积再作差；3. 判断整式类型：先回忆整式、单项式、多项式的定义，再对照得到的两个代数式判断归属即可。
【解析】
解：①计算侧面积：
圆柱侧面积公式为底面周长×高，钢管外底面圆的周长为$2π R$ cm，高为$a$ cm，
因此钢管的侧面积为$2π R × a = 2π Ra\ \mathrm{cm}^2$。
②计算体积：
圆柱体积公式为底面积×高，外圆柱体积为$π R^2 × a = π R^2 a\ \mathrm{cm}^3$，内部空心圆柱体积为$π r^2 × a = π r^2 a\ \mathrm{cm}^3$，
因此钢管的体积为$π R^2 a - π r^2 a\ \mathrm{cm}^3$。
③判断整式类型：
整式包括单项式和多项式，其中由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，几个单项式的和组成的代数式是多项式。
$2π Ra$是数$2π$与字母$R、a$的乘积，属于单项式，是整式；$π R^2 a - π r^2 a$是单项式$π R^2 a$和$-π r^2 a$的和，属于多项式，是整式。
【答案】
钢管的侧面积为$2π Ra\ \mathrm{cm}^2$，体积为$(π R^2a-π r^2a)\ \mathrm{cm}^3$；它们都是整式，$2π Ra$是单项式，$π R^2a-π r^2a$是多项式。
【知识点】
圆柱的侧面积与体积计算，整式的定义，单项式与多项式的区分
【点评】
本题结合空心圆柱的相关计算考查整式的分类，需要熟练掌握圆柱的运算公式，同时牢记整式、单项式、多项式的概念，作答时注意不要漏写单位，判断代数式类型时注意$π$是常数不是字母。
【难度系数】
0.8
14. 应用意识 如图，这是某操场的示意图，操场由跑道和跑道内部的活动区域组成. 每条跑道由两条直的跑道和两端的半圆形跑道组成(跑道宽度忽略不计)，每相邻两条跑道之间的距离是相等的. 如图，共有8条跑道，最内侧半圆形跑道的半径是a m，最外侧半圆形跑道的半径是b m，每条直道的长度都是c m.
(1) 用代数式表示最内侧一圈跑道的长度为
(2) 用代数式表示整个操场的占地面积为
(3) 学校计划将跑道内部的长方形部分(图中阴影部分)设计成足球场，这部分地面铺设草坪，其余部分铺设塑胶，测得a＝35，b＝40，c＝100. 若草坪每平方米60元，塑胶每平方米80元，请你计算铺设草坪和塑胶一共约需要多少钱.(π取3)
(1) 用代数式表示最内侧一圈跑道的长度为
$(2c+2π a)$
m；(2) 用代数式表示整个操场的占地面积为
$(2bc+π b^2)$
m²，所列代数式是 二
次 二
项式；(3) 学校计划将跑道内部的长方形部分(图中阴影部分)设计成足球场，这部分地面铺设草坪，其余部分铺设塑胶，测得a＝35，b＝40，c＝100. 若草坪每平方米60元，塑胶每平方米80元，请你计算铺设草坪和塑胶一共约需要多少钱.(π取3)
答案
14.解：(1)$(2c+2π a)$
(2)$(2bc+π b^2)$;二;二
(3)由题意可得铺设草坪的面积为$2ac\ \mathrm{m}^2$，铺设塑胶的面积为$(2bc+π b^2-2ac)\ \mathrm{m}^2$。因为$a=35,b=40,c=100$，所以总费用为$60× 2ac+80×(2bc+π b^2-2ac)\approx60×2×35×100+80×(2×40×100+3×40^2-2×35×100)=884000$(元)。
答：铺设草坪和塑胶一共约需要884 000元。
(2)$(2bc+π b^2)$;二;二
(3)由题意可得铺设草坪的面积为$2ac\ \mathrm{m}^2$，铺设塑胶的面积为$(2bc+π b^2-2ac)\ \mathrm{m}^2$。因为$a=35,b=40,c=100$，所以总费用为$60× 2ac+80×(2bc+π b^2-2ac)\approx60×2×35×100+80×(2×40×100+3×40^2-2×35×100)=884000$(元)。
答：铺设草坪和塑胶一共约需要884 000元。
解析
【分析】
(1) 求解最内侧跑道长度时，可将跑道拆分为两部分：两条直道的总长度，以及两端两个半圆形拼成的整圆的周长，两部分相加即为总长度。
(2) 求解操场占地面积时，同样拆分图形：两端的半圆形可拼成半径为b的整圆，中间是长为c、宽为2b的长方形，两部分面积相加为总面积。再观察所得代数式的项数和最高次项的次数，即可判断多项式的类型。
(3) 计算总费用时，先明确草坪是内部长方形，面积为长乘宽；塑胶面积为操场总面积减去草坪面积，再用各自面积乘对应单价求和，最后代入给定数值计算即可。
【解析】
(1) 两条直道总长度为$2c$，两端拼成的半径为$a$的整圆周长为$2π a$，因此最内侧一圈跑道长度为$2c+2π a$。
(2) 中间长方形面积为$2b× c=2bc$，两端拼成的半径为$b$的整圆面积为$π b^2$，因此操场总面积为$2bc+π b^2$；该代数式包含$2bc$和$π b^2$两项，最高次项的次数为2，因此是二次二项式。
(3) 由题意得：
草坪面积为内部长方形面积：$2ac\ \mathrm{m}^2$，
塑胶面积为操场总面积减草坪面积：$(2bc+π b^2-2ac)\ \mathrm{m}^2$，
总费用$=60× 2ac + 80×(2bc+π b^2-2ac)$，
代入$a=35,b=40,c=100,π=3$：
$\begin{aligned}\mathrm{总费用}&=60×2×35×100 + 80×(2×40×100 + 3×40^2 - 2×35×100)\\&=420000 + 80×5800\\&=420000 + 464000\\&=884000(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2c+2π a}$
(2) $\boldsymbol{2bc+π b^2}$；二；二
(3) 铺设草坪和塑胶一共约需要$\boldsymbol{884000}$元。
【知识点】
列代数式；多项式的概念；代数式求值
【点评】
本题结合生活场景将几何计算和代数式知识融合，解题时要注意合理拆分图形，明确不同部分对应的尺寸关系，代入数值计算时要注意运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解最内侧跑道长度时，可将跑道拆分为两部分：两条直道的总长度，以及两端两个半圆形拼成的整圆的周长，两部分相加即为总长度。
(2) 求解操场占地面积时，同样拆分图形：两端的半圆形可拼成半径为b的整圆，中间是长为c、宽为2b的长方形，两部分面积相加为总面积。再观察所得代数式的项数和最高次项的次数，即可判断多项式的类型。
(3) 计算总费用时，先明确草坪是内部长方形，面积为长乘宽；塑胶面积为操场总面积减去草坪面积，再用各自面积乘对应单价求和，最后代入给定数值计算即可。
【解析】
(1) 两条直道总长度为$2c$，两端拼成的半径为$a$的整圆周长为$2π a$，因此最内侧一圈跑道长度为$2c+2π a$。
(2) 中间长方形面积为$2b× c=2bc$，两端拼成的半径为$b$的整圆面积为$π b^2$，因此操场总面积为$2bc+π b^2$；该代数式包含$2bc$和$π b^2$两项，最高次项的次数为2，因此是二次二项式。
(3) 由题意得：
草坪面积为内部长方形面积：$2ac\ \mathrm{m}^2$，
塑胶面积为操场总面积减草坪面积：$(2bc+π b^2-2ac)\ \mathrm{m}^2$，
总费用$=60× 2ac + 80×(2bc+π b^2-2ac)$，
代入$a=35,b=40,c=100,π=3$：
$\begin{aligned}\mathrm{总费用}&=60×2×35×100 + 80×(2×40×100 + 3×40^2 - 2×35×100)\\&=420000 + 80×5800\\&=420000 + 464000\\&=884000(\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2c+2π a}$
(2) $\boldsymbol{2bc+π b^2}$；二；二
(3) 铺设草坪和塑胶一共约需要$\boldsymbol{884000}$元。
【知识点】
列代数式；多项式的概念；代数式求值
【点评】
本题结合生活场景将几何计算和代数式知识融合，解题时要注意合理拆分图形，明确不同部分对应的尺寸关系，代入数值计算时要注意运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
