1. 如图，$△ ABC$是等边三角形，点$D$，$E$，$F$在$△ ABC$内部，点$D$在$AE$上，点$E$在$BF$上，点$F$在$CD$上，且$∠ BAE : ∠ CBF : ∠ ACD=1:2:3$，则$△ DEF$的形状是（）


A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

1. A

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ CAB=60°$，D为边BC上一点，且AD平分$∠ CAB$，若$CD=1$，则BC的长是（）


A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.3
D.$\frac{5}{2}$

2. C

3. 如图，已知$∠ MON=30°$，点$A_1$，$A_2$，$A_3$，…在射线$ON$上，点$B_1$，$B_2$，$B_3$，…在射线$OM$上，$△ A_1B_1A_2$，$△ A_2B_2A_3$，$△ A_3B_3A_4$，…均为等边三角形，若$OA_1=2$，则$△ A_4B_4A_5$的边长是。

3. 16

4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，DE是AB的垂直平分线，$DE=3$，$∠ B=30°$，则$BC=$。

4. 9

5. 在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上，且DE=EC.
（1）如图①，当E为AB的中点时，求证：$BC=2BD$；

（2）如图②，若$AB=12$，$AE=2$，求CD的长.

5.（1）证明 因为$△ ABC$为等边三角形，
所以$∠ ABC=∠ A=∠ ACB=60°$。
由题意知$EB=AE$，
所以 $CE ⊥ AB$，$CE$ 是 $∠ ACB$ 的平分线。
所以$∠ BEC=90°$，$∠ BCE=30°$。
所以 $BC=2EB$。
因为 $ED = EC$，所以 $∠ EDC = ∠ ECD=30°$。
所以$∠ DEB=60°-30°=30°$。
所以 $BD=BE$。所以 $BC=2BD$。
（2）解 如图，过点 $E$ 作 $EF// BC$，交 $AC$ 于点 $F$。

因为$△ ABC$ 为等边三角形，
所以 $∠ AFE = ∠ ACB = ∠ ABC = ∠ AEF=∠ A=60°$。所以$△ AEF$ 为等边三角形。
所以$∠ EFC=∠ EBD=120°$，$EF=AE$。
因为 $ED=EC$，所以$∠ EDB=∠ ECB$。
因为 $EF// BC$，所以$∠ ECB=∠ FEC$。
所以$∠ EDB=∠ FEC$。
在$△ BDE$ 和$△ FEC$ 中，
$\begin{cases}∠ EBD=∠ EFC,\\∠ EDB=∠ FEC,\\ED=EC,\end{cases}$
所以$△ BDE≌△ FEC$（AAS）。
所以 $BD=EF$。所以 $AE=BD$。
所以 $CD=BC+BD=12+2=14$。