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马家窑文化以发达的彩陶著称于世,其陶质坚固,器表细腻,红、黑、白彩共用,彩绘线条流畅细致,图案繁缛多变,形成了绚丽典雅的艺术风格,创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品,体现了古代劳动人民的智慧.如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②,已知$\odot O$和圆上一点$M$.作法如下:
①以点$M$为圆心,$OM$长为半径作弧交$\odot O$于$A,B$两点;
②延长$MO$交$\odot O$于点$C$;
即点$A,B,C$将$\odot O$的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图②中将$\odot O$的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法);
(2)根据(1)中画出的图形,连接$AB,AC,BC$.若$\odot O$的半径为$2\ \mathrm{cm}$,则$△ ABC$的周长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
①以点$M$为圆心,$OM$长为半径作弧交$\odot O$于$A,B$两点;
②延长$MO$交$\odot O$于点$C$;
即点$A,B,C$将$\odot O$的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图②中将$\odot O$的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法);
(2)根据(1)中画出的图形,连接$AB,AC,BC$.若$\odot O$的半径为$2\ \mathrm{cm}$,则$△ ABC$的周长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
(1)如图,点 A,B,C 即为求作的⊙O 的圆周三等分点.
(2)$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 本问考查尺规作图，严格按照题干给出的步骤操作即可：第一步以点M为圆心，OM长度为半径画弧，与$\odot O$的两个交点就是A、B；第二步延长MO，与$\odot O$的另一个交点就是C，作图时保留所有痕迹即可。
(2) 本问考查圆中弦长的计算：首先根据作图过程可判定$△ OAM$为等边三角形，得到$∠ AOM$的度数，进而求出弦AC对应的圆心角$∠ AOC$的度数；再利用垂径定理结合锐角三角函数求出AC的长度；最后根据三个点三等分圆周可知$△ ABC$是等边三角形，三边长度相等，即可求出周长。
【解析】
(1) 按照步骤作图：①以M为圆心，OM长为半径作弧，交$\odot O$于A、B两点；②延长MO交$\odot O$于点C，保留作图痕迹，A、B、C即为所求的三等分点。
(2) 连接OA，过点O作$OD⊥ AC$于点D：
由作图可知$OM=MA=OA=2\ \mathrm{cm}$，因此$△ OAM$是等边三角形，$∠ AOM=60°$，
则$∠ AOC=180°-∠ AOM=120°$，同理可得$∠ BOC=120°$，$∠ AOB=120°$，
因此弧$AB=$弧$BC=$弧$AC$，可得$AB=BC=AC$，即$△ ABC$是等边三角形。
根据垂径定理，$OD⊥ AC$可得$AD=CD$，$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=OA·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
因此$AC=2AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$△ ABC$的周长为$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)如图,点 A,B,C 即为求作的⊙O 的圆周三等分点.
(2)$6\sqrt{3}$
【知识点】
尺规作图，垂径定理，正多边形与圆
【点评】
本题结合马家窑彩陶文化的背景，同时考查了尺规作图能力和圆的相关计算，既体现了数学在传统文化中的实际应用，也对学生的动手操作能力、几何计算能力进行了考察，题目设置新颖，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 本问考查尺规作图，严格按照题干给出的步骤操作即可：第一步以点M为圆心，OM长度为半径画弧，与$\odot O$的两个交点就是A、B；第二步延长MO，与$\odot O$的另一个交点就是C，作图时保留所有痕迹即可。
(2) 本问考查圆中弦长的计算：首先根据作图过程可判定$△ OAM$为等边三角形，得到$∠ AOM$的度数，进而求出弦AC对应的圆心角$∠ AOC$的度数；再利用垂径定理结合锐角三角函数求出AC的长度；最后根据三个点三等分圆周可知$△ ABC$是等边三角形，三边长度相等，即可求出周长。
【解析】
(1) 按照步骤作图：①以M为圆心，OM长为半径作弧，交$\odot O$于A、B两点；②延长MO交$\odot O$于点C，保留作图痕迹，A、B、C即为所求的三等分点。
(2) 连接OA，过点O作$OD⊥ AC$于点D：
由作图可知$OM=MA=OA=2\ \mathrm{cm}$，因此$△ OAM$是等边三角形，$∠ AOM=60°$，
则$∠ AOC=180°-∠ AOM=120°$，同理可得$∠ BOC=120°$，$∠ AOB=120°$，
因此弧$AB=$弧$BC=$弧$AC$，可得$AB=BC=AC$，即$△ ABC$是等边三角形。
根据垂径定理，$OD⊥ AC$可得$AD=CD$，$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=OA·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
因此$AC=2AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$△ ABC$的周长为$3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)如图,点 A,B,C 即为求作的⊙O 的圆周三等分点.
(2)$6\sqrt{3}$
【知识点】
尺规作图，垂径定理，正多边形与圆
【点评】
本题结合马家窑彩陶文化的背景，同时考查了尺规作图能力和圆的相关计算，既体现了数学在传统文化中的实际应用，也对学生的动手操作能力、几何计算能力进行了考察，题目设置新颖，难度适中。
【难度系数】
0.7
1. 如图，用量角器等分圆周的方法，画$\odot O$的内接正十边形. 
答案
1. 如图,多边形 ABCDEFGHIJ 就是所求作的正十边形.
解析
【分析】
要绘制圆的内接正十边形，本质是将圆周长进行十等分。正多边形每条边对应的圆心角相等，圆周总角度为360°，因此正十边形每个中心角的度数为$360°÷10=36°$。我们只需先画出一个36°的圆心角得到圆周上2个分点，再依次在圆周上截取与该圆心角对应的等弧，得到全部10个分点，最后顺次连接所有分点即可得到正十边形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作$\odot O$的任意一条半径$OA$；
2. 以$OA$为一边，用量角器作$∠ AOB=36°$，角的另一边交$\odot O$于点$B$，得到劣弧$AB$；
3. 以点$B$为起点，在$\odot O$上顺次截取劣弧$BC$、劣弧$CD$、劣弧$DE$、劣弧$EF$、劣弧$FG$、劣弧$GH$、劣弧$HI$、劣弧$IJ$，使它们的长度都等于劣弧$AB$的长度，最终分点$J$到点$A$的劣弧长度也恰好等于劣弧$AB$的长度，得到圆周上的10个等分点$A、B、C、D、E、F、G、H、I、J$；
4. 顺次连接这10个等分点，所得多边形即为$\odot O$的内接正十边形。
【答案】
如图,多边形 ABCDEFGHIJ 就是所求作的正十边形.
【知识点】
正多边形与圆、圆心角计算、圆周等分方法
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是掌握正n边形的中心角计算公式，操作过程中要注意截取的每段弧长度一致，连接分点时需按顺序首尾相连，避免出现交叉等错误。
【难度系数】
0.8
要绘制圆的内接正十边形，本质是将圆周长进行十等分。正多边形每条边对应的圆心角相等，圆周总角度为360°，因此正十边形每个中心角的度数为$360°÷10=36°$。我们只需先画出一个36°的圆心角得到圆周上2个分点，再依次在圆周上截取与该圆心角对应的等弧，得到全部10个分点，最后顺次连接所有分点即可得到正十边形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作$\odot O$的任意一条半径$OA$；
2. 以$OA$为一边，用量角器作$∠ AOB=36°$，角的另一边交$\odot O$于点$B$，得到劣弧$AB$；
3. 以点$B$为起点，在$\odot O$上顺次截取劣弧$BC$、劣弧$CD$、劣弧$DE$、劣弧$EF$、劣弧$FG$、劣弧$GH$、劣弧$HI$、劣弧$IJ$，使它们的长度都等于劣弧$AB$的长度，最终分点$J$到点$A$的劣弧长度也恰好等于劣弧$AB$的长度，得到圆周上的10个等分点$A、B、C、D、E、F、G、H、I、J$；
4. 顺次连接这10个等分点，所得多边形即为$\odot O$的内接正十边形。
【答案】
如图,多边形 ABCDEFGHIJ 就是所求作的正十边形.
【知识点】
正多边形与圆、圆心角计算、圆周等分方法
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是掌握正n边形的中心角计算公式，操作过程中要注意截取的每段弧长度一致，连接分点时需按顺序首尾相连，避免出现交叉等错误。
【难度系数】
0.8
2. 用尺规作图法作正八边形.
答案
解：
作法如下：
1. 任取一点O为圆心，选取适当长度为半径作⊙O。
2. 作⊙O的任意一条直径AC，过点O作AC的垂线，交⊙O于B、D两点，得到互相垂直的两条直径AC、BD，此时⊙O被四等分，四个分点为A、B、C、D。
3. 分别作弦AB、BC、CD、DA的垂直平分线，四条垂直平分线与⊙O依次交于E、F、G、H四个点，此时圆周被分为8等份。
4. 顺次连接圆上的8个点A、E、B、F、C、G、D、H，所得八边形即为所求的正八边形。
作法如下：
1. 任取一点O为圆心，选取适当长度为半径作⊙O。
2. 作⊙O的任意一条直径AC，过点O作AC的垂线，交⊙O于B、D两点，得到互相垂直的两条直径AC、BD，此时⊙O被四等分，四个分点为A、B、C、D。
3. 分别作弦AB、BC、CD、DA的垂直平分线，四条垂直平分线与⊙O依次交于E、F、G、H四个点，此时圆周被分为8等份。
4. 顺次连接圆上的8个点A、E、B、F、C、G、D、H，所得八边形即为所求的正八边形。
解析
【分析】
要作出正八边形，可依据正多边形与圆的关系，构造圆内接正八边形：正八边形的中心角为$360°÷8=45°$，因此只需将圆周八等分，顺次连接各分点即可得到正八边形。思考路径如下：①先作任意半径的圆作为正八边形的外接圆；②通过作两条互相垂直的直径将圆四等分，此时相邻分点对应的中心角为$90°$；③作四等分点间弦的垂直平分线（本质是平分$90°$中心角），即可得到八等分圆周的分点；④顺次连接八个分点得到所求正八边形。
【解析】
作法如下：
1. 任取一点$O$为圆心，选取适当长度为半径作$\odot O$。
2. 作$\odot O$的任意一条直径$AC$，过点$O$作$AC$的垂线，交$\odot O$于$B$、$D$两点，得到互相垂直的两条直径$AC$、$BD$，此时$\odot O$被四等分，四个分点为$A$、$B$、$C$、$D$。
3. 分别作弦$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的垂直平分线，四条垂直平分线与$\odot O$依次交于$E$、$F$、$G$、$H$四个点，此时圆周被分为8等份。
4. 顺次连接圆上的8个点$A$、$E$、$B$、$F$、$C$、$G$、$D$、$H$，所得八边形即为所求的正八边形。
【答案】
作法如下：
1. 任取一点O为圆心，选取适当长度为半径作⊙O。
2. 作⊙O的任意一条直径AC，过点O作AC的垂线，交⊙O于B、D两点，得到互相垂直的两条直径AC、BD，此时⊙O被四等分，四个分点为A、B、C、D。
3. 分别作弦AB、BC、CD、DA的垂直平分线，四条垂直平分线与⊙O依次交于E、F、G、H四个点，此时圆周被分为8等份。
4. 顺次连接圆上的8个点A、E、B、F、C、G、D、H，所得八边形即为所求的正八边形。
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、垂直平分线的作法
【点评】
本题考查正多边形的尺规作图方法，解题核心是将作正八边形转化为八等分圆周的问题，需要熟练掌握作垂线、作线段垂直平分线等基本尺规作图技能，作图时要注意保留完整作图痕迹，连接分点时顺序不能出错。
【难度系数】
0.7
要作出正八边形，可依据正多边形与圆的关系，构造圆内接正八边形：正八边形的中心角为$360°÷8=45°$，因此只需将圆周八等分，顺次连接各分点即可得到正八边形。思考路径如下：①先作任意半径的圆作为正八边形的外接圆；②通过作两条互相垂直的直径将圆四等分，此时相邻分点对应的中心角为$90°$；③作四等分点间弦的垂直平分线（本质是平分$90°$中心角），即可得到八等分圆周的分点；④顺次连接八个分点得到所求正八边形。
【解析】
作法如下：
1. 任取一点$O$为圆心，选取适当长度为半径作$\odot O$。
2. 作$\odot O$的任意一条直径$AC$，过点$O$作$AC$的垂线，交$\odot O$于$B$、$D$两点，得到互相垂直的两条直径$AC$、$BD$，此时$\odot O$被四等分，四个分点为$A$、$B$、$C$、$D$。
3. 分别作弦$AB$、$BC$、$CD$、$DA$的垂直平分线，四条垂直平分线与$\odot O$依次交于$E$、$F$、$G$、$H$四个点，此时圆周被分为8等份。
4. 顺次连接圆上的8个点$A$、$E$、$B$、$F$、$C$、$G$、$D$、$H$，所得八边形即为所求的正八边形。
【答案】
作法如下：
1. 任取一点O为圆心，选取适当长度为半径作⊙O。
2. 作⊙O的任意一条直径AC，过点O作AC的垂线，交⊙O于B、D两点，得到互相垂直的两条直径AC、BD，此时⊙O被四等分，四个分点为A、B、C、D。
3. 分别作弦AB、BC、CD、DA的垂直平分线，四条垂直平分线与⊙O依次交于E、F、G、H四个点，此时圆周被分为8等份。
4. 顺次连接圆上的8个点A、E、B、F、C、G、D、H，所得八边形即为所求的正八边形。
【知识点】
正多边形与圆、尺规作图、垂直平分线的作法
【点评】
本题考查正多边形的尺规作图方法，解题核心是将作正八边形转化为八等分圆周的问题，需要熟练掌握作垂线、作线段垂直平分线等基本尺规作图技能，作图时要注意保留完整作图痕迹，连接分点时顺序不能出错。
【难度系数】
0.7
3. 用等分圆周的方法，画出下列图案. 
答案
解：
画法步骤如下：
1. 作基础正六边形：
任意取一点O为圆心，取定长为半径作圆，以该半径长度为截取长度，用圆规在圆周上顺次截取，将圆周6等分，得到6个等分点，顺次连接这6个等分点，得到该圆的内接正六边形。
2. 绘制左侧花瓣图案：
分别以正六边形的六条边为直径，向正六边形的内部作半圆，将6个半圆相交形成的6个叶形区域填充阴影，即可得到左侧的六瓣花图案。
3. 绘制右侧阴影图案：
连接正六边形中所有间隔的两个顶点的对角线，将正六边形分割为若干全等的小三角形，按照题图所示的位置，将指定的6个小三角形区域填充阴影，即可得到右侧的图案。
画法步骤如下：
1. 作基础正六边形：
任意取一点O为圆心，取定长为半径作圆，以该半径长度为截取长度，用圆规在圆周上顺次截取，将圆周6等分，得到6个等分点，顺次连接这6个等分点，得到该圆的内接正六边形。
2. 绘制左侧花瓣图案：
分别以正六边形的六条边为直径，向正六边形的内部作半圆，将6个半圆相交形成的6个叶形区域填充阴影，即可得到左侧的六瓣花图案。
3. 绘制右侧阴影图案：
连接正六边形中所有间隔的两个顶点的对角线，将正六边形分割为若干全等的小三角形，按照题图所示的位置，将指定的6个小三角形区域填充阴影，即可得到右侧的图案。
解析
【分析】
观察可知两个图案均以正六边形为基础框架，解题可按以下思路展开：第一步先绘制基础正六边形，利用正六边形边长等于其外接圆半径的性质，通过6等分圆周即可画出正六边形；第二步分别分析两个图案的构成：左侧花瓣图案是正六边形各边为直径向内作半圆相交形成的叶形区域，右侧阴影图案是正六边形连接间隔顶点的对角线分割出的指定小三角形区域，按此逻辑分步作图即可完成绘制。
【解析】
画法步骤如下：
1. 作基础正六边形：
任意取一点O为圆心，取定长为半径作圆，以该半径长度为截取长度，用圆规在圆周上顺次截取，将圆周6等分，得到6个等分点，顺次连接这6个等分点，得到该圆的内接正六边形。
2. 绘制左侧花瓣图案：
分别以正六边形的六条边为直径，向正六边形的内部作半圆，将6个半圆相交形成的6个叶形区域填充阴影，即可得到左侧的六瓣花图案。
3. 绘制右侧阴影图案：
连接正六边形中所有间隔的两个顶点的对角线，将正六边形分割为若干全等的小三角形，按照题图所示的位置，将指定的6个小三角形区域填充阴影，即可得到右侧的图案。
【答案】
画法步骤如下：
1. 作基础正六边形：
任意取一点O为圆心，取定长为半径作圆，以该半径长度为截取长度，用圆规在圆周上顺次截取，将圆周6等分，得到6个等分点，顺次连接这6个等分点，得到该圆的内接正六边形。
2. 绘制左侧花瓣图案：
分别以正六边形的六条边为直径，向正六边形的内部作半圆，将6个半圆相交形成的6个叶形区域填充阴影，即可得到左侧的六瓣花图案。
3. 绘制右侧阴影图案：
连接正六边形中所有间隔的两个顶点的对角线，将正六边形分割为若干全等的小三角形，按照题图所示的位置，将指定的6个小三角形区域填充阴影，即可得到右侧的图案。
【知识点】
1. 等分圆周作图
2. 正六边形画法
3. 尺规基本作图
【点评】
本题考查利用等分圆周的方法设计图案，解题核心是先确定基础图形正六边形的绘制方法，再结合图案的结构特征分步操作，能有效锻炼学生的图形观察能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
观察可知两个图案均以正六边形为基础框架，解题可按以下思路展开：第一步先绘制基础正六边形，利用正六边形边长等于其外接圆半径的性质，通过6等分圆周即可画出正六边形；第二步分别分析两个图案的构成：左侧花瓣图案是正六边形各边为直径向内作半圆相交形成的叶形区域，右侧阴影图案是正六边形连接间隔顶点的对角线分割出的指定小三角形区域，按此逻辑分步作图即可完成绘制。
【解析】
画法步骤如下：
1. 作基础正六边形：
任意取一点O为圆心，取定长为半径作圆，以该半径长度为截取长度，用圆规在圆周上顺次截取，将圆周6等分，得到6个等分点，顺次连接这6个等分点，得到该圆的内接正六边形。
2. 绘制左侧花瓣图案：
分别以正六边形的六条边为直径，向正六边形的内部作半圆，将6个半圆相交形成的6个叶形区域填充阴影，即可得到左侧的六瓣花图案。
3. 绘制右侧阴影图案：
连接正六边形中所有间隔的两个顶点的对角线，将正六边形分割为若干全等的小三角形，按照题图所示的位置，将指定的6个小三角形区域填充阴影，即可得到右侧的图案。
【答案】
画法步骤如下：
1. 作基础正六边形：
任意取一点O为圆心，取定长为半径作圆，以该半径长度为截取长度，用圆规在圆周上顺次截取，将圆周6等分，得到6个等分点，顺次连接这6个等分点，得到该圆的内接正六边形。
2. 绘制左侧花瓣图案：
分别以正六边形的六条边为直径，向正六边形的内部作半圆，将6个半圆相交形成的6个叶形区域填充阴影，即可得到左侧的六瓣花图案。
3. 绘制右侧阴影图案：
连接正六边形中所有间隔的两个顶点的对角线，将正六边形分割为若干全等的小三角形，按照题图所示的位置，将指定的6个小三角形区域填充阴影，即可得到右侧的图案。
【知识点】
1. 等分圆周作图
2. 正六边形画法
3. 尺规基本作图
【点评】
本题考查利用等分圆周的方法设计图案，解题核心是先确定基础图形正六边形的绘制方法，再结合图案的结构特征分步操作，能有效锻炼学生的图形观察能力和动手作图能力。
【难度系数】
0.7
