1.解下列方程：
(1)$2(x-1)^2 -18=0$；
(2)$4(1-2x)^2 -36=0$；
(3)$x^2 -6x +9=4$。

(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=-1,x_2=2$
(3)$x_1=5,x_2=1$

【分析】
这三道题均适合用直接开平方法求解，解题思路为：首先将方程变形为“完全平方式=非负常数”的形式，再对等式两边同时开平方，将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 移项，得 $2(x-1)^2=18$
系数化为1，得 $(x-1)^2=9$
开平方，得 $x-1=\pm3$
即 $x-1=3$ 或 $x-1=-3$
解得 $x_1=4$，$x_2=-2$
(2) 移项，得 $4(1-2x)^2=36$
系数化为1，得 $(1-2x)^2=9$
开平方，得 $1-2x=\pm3$
即 $1-2x=3$ 或 $1-2x=-3$
当 $1-2x=3$ 时，$-2x=2$，解得 $x=-1$
当 $1-2x=-3$ 时，$-2x=-4$，解得 $x=2$
故 $x_1=-1$，$x_2=2$
(3) 原方程左边分解为完全平方式，得 $(x-3)^2=4$
开平方，得 $x-3=\pm2$
即 $x-3=2$ 或 $x-3=-2$
解得 $x_1=5$，$x_2=1$
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=-1,x_2=2$
(3)$x_1=5,x_2=1$
【知识点】
直接开平方法、完全平方公式、一元二次方程求解
【点评】
本题是用直接开平方法解一元二次方程的基础题型，核心是将方程转化为平方项等于非负常数的形式，即可快速降次求解，熟练掌握该方法能提升解一元二次方程的效率。
【难度系数】
0.8

【例2】用配方法解方程: $2x^2 -5x +3=0$.
解:
【规律方法】
用配方法解一元二次方程的步骤
(1)移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项.
(2)化1:当方程的二次项系数不为1时,在方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1.
(3)配方:在方程的两边同时加一次项系数一半的平方,把原方程化成 $(x+m)^2 =n$ 的形式.
(4)开方:若 $n≥0$,则方程两边直接开平方得到一元一次方程;若 $n＜0$,则原方程没有实数根.
(5)求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的根.

$x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$

【分析】
解本题需按照配方法解一元二次方程的标准步骤思考：首先将常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，接着给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左侧凑成完全平方式，再通过直接开平方把方程转化为一元一次方程，最后求解得到原方程的根即可。
【解析】
1. 移项，得 $2x^2 -5x = -3$
2. 二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得 $x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{3}{2}$
3. 配方，方程两边同时加一次项系数$-\frac{5}{2}$一半的平方，即$(\frac{5}{4})^2=\frac{25}{16}$，得：
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = -\frac{3}{2} + \frac{25}{16}$
整理得 $(x - \frac{5}{4})^2 = \frac{1}{16}$
4. 直接开平方，得 $x - \frac{5}{4} = \pm \frac{1}{4}$
5. 求解：
当$x - \frac{5}{4} = \frac{1}{4}$时，$x = \frac{3}{2}$；当$x - \frac{5}{4} = -\frac{1}{4}$时，$x = 1$
【答案】
$x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式 3.平方根运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规基础题，解题核心是严格遵循配方法的操作步骤，易错点为二次项系数化1时漏除常数项、配方时只给方程左侧加常数，掌握基本操作步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

2.用配方法解方程：$2x^2 -8x -5=0.$

$x_1=2+\frac{\sqrt{26}}{2},x_2=2-\frac{\sqrt{26}}{2}$

【分析】
用配方法解该一元二次方程的核心是将方程左侧凑成完全平方式，右侧化为常数，再通过开平方求解。解题思路可按以下步骤推进：首先把二次项系数化为1，方便后续配方操作；其次将常数项移到方程右侧；接着方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧变形为完全平方的形式；最后对等式两边直接开平方，转化为两个一元一次方程求解即可得到原方程的根。
【解析】
解：① 二次项系数化为1：方程两边同时除以2，得
$x^2 - 4x - \frac{5}{2} = 0$
② 移项：将常数项移到方程右侧，得
$x^2 - 4x = \frac{5}{2}$
③ 配方：方程两边同时加上一次项系数$-4$一半的平方，即$(-2)^2=4$，得
$x^2 -4x +4 = \frac{5}{2} +4$
左侧写成完全平方式，右侧合并常数项，得
$(x-2)^2 = \frac{13}{2}$
④ 开平方：等式两边同时开平方，得
$x-2 = \pm \sqrt{\frac{13}{2}}$
化简二次根式得$\sqrt{\frac{13}{2}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$，因此
$x = 2 \pm \frac{\sqrt{26}}{2}$
【答案】
$x_1=2+\frac{\sqrt{26}}{2},x_2=2-\frac{\sqrt{26}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、二次根式化简
【点评】
本题是配方法求解一元二次方程的常规基础题型，解题时需注意二次项系数不为1时要先化为1，配方时等式两边要同时加相同的数以保证等式成立，开平方时不要遗漏负根，最终二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.75

【例3】当$x$为何值时，代数式$2x^2 -8x +3$有最小值？最小值是多少？
|思路分析|
思考1:将代数式$2x^2 -8x +3$配方，可得。
思考2:配方后根据完全平方式的求代数式的最小值。
解:

思考1:$2(x-2)^2-5$
思考2:非负性
解:当$x=2$时,代数式$2x^2-8x+3$有最小值,最小值为$-5$。

【分析】
要求二次代数式的最小值，我们可以用配方法将代数式转化为“常数+完全平方式的倍数”的形式，具体思考路径如下：第一步先提取二次项系数，将含x的二次项、一次项组合，再凑完全平方，注意变形过程要保证代数式的值不变，得到配方后的结果；第二步利用完全平方式的取值特性分析最值，因为任何实数的平方都是非负的，据此就能确定整个代数式的最小值以及对应的x的取值。
【解析】
1. 完成思考1，对代数式$2x^2 -8x +3$配方：
先提取二次项系数2，整理含x的项：
$2x^2 -8x +3=2(x^2-4x)+3$
括号内凑完全平方，一次项系数为-4，一半的平方是4，为保证恒等变形，加4后需再减4：
$=2[(x^2-4x+4)-4]+3$
化简得：
$=2(x-2)^2 -8 +3=2(x-2)^2 -5$
因此思考1的结果为$2(x-2)^2 -5$。
2. 完成思考2：
完全平方式$(x-2)^2$的取值范围是$(x-2)^2≥0$，即完全平方式具有非负性，我们可以利用该性质求代数式的最值，因此思考2填非负性。
3. 求最值：
由$(x-2)^2≥0$，可得$2(x-2)^2≥0$，因此$2(x-2)^2 -5≥ -5$。
当且仅当$(x-2)^2=0$，即$x=2$时，等号成立，此时代数式取得最小值。
【答案】
思考1:$2(x-2)^2-5$
思考2:非负性
解:当$x=2$时,代数式$2x^2-8x+3$有最小值,最小值为$-5$。
【知识点】
1. 配方法
2. 完全平方的非负性
3. 二次代数式最值求解
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，通过恒等变形将二次代数式转化为含完全平方的形式，再结合完全平方的非负性分析最值，能有效考查学生对配方法的掌握程度和代数最值的分析能力。
【难度系数】
0.8