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3.函数$y=ax - a$与$y=\frac{a}{x}(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
）答案
3.D
解析
【分析】
本题采用分类讨论的思路解题，核心是根据参数$a$的正负，分别推导一次函数和反比例函数的图象特征，再和选项逐一比对排除错误选项。首先明确两类函数的图象规律：反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象象限由$a$的正负决定，一次函数$y=ax-a$的倾斜方向由斜率$a$决定，与$y$轴的交点位置由截距$-a$决定，分$a＞0$和$a＜0$两种情况分析即可。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象位于第一、第三象限；
一次函数$y=ax-a$中，斜率$a＞0$，直线从左下向右上倾斜，截距$-a＜0$，即直线与$y$轴交于负半轴，因此一次函数图象经过第一、三、四象限。
观察选项，A中一次函数与$y$轴交于正半轴，不符合；C中反比例函数在第二、四象限，不符合，因此$a＞0$时无正确选项。
2. 当$a＜0$时：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象位于第二、第四象限；
一次函数$y=ax-a$中，斜率$a＜0$，直线从左上向右下倾斜，截距$-a＞0$，即直线与$y$轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、四象限。
观察选项，B中反比例函数在第一、三象限，不符合；D中反比例函数在第二、四象限，一次函数的倾斜方向、与$y$轴交点位置均符合要求。
综上，只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的经典题型，解题关键是对参数$a$分类讨论，结合两类函数的图象规律逐一排除错误选项，熟练掌握函数系数和图象特征的对应关系是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题采用分类讨论的思路解题，核心是根据参数$a$的正负，分别推导一次函数和反比例函数的图象特征，再和选项逐一比对排除错误选项。首先明确两类函数的图象规律：反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象象限由$a$的正负决定，一次函数$y=ax-a$的倾斜方向由斜率$a$决定，与$y$轴的交点位置由截距$-a$决定，分$a＞0$和$a＜0$两种情况分析即可。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象位于第一、第三象限；
一次函数$y=ax-a$中，斜率$a＞0$，直线从左下向右上倾斜，截距$-a＜0$，即直线与$y$轴交于负半轴，因此一次函数图象经过第一、三、四象限。
观察选项，A中一次函数与$y$轴交于正半轴，不符合；C中反比例函数在第二、四象限，不符合，因此$a＞0$时无正确选项。
2. 当$a＜0$时：
反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象位于第二、第四象限；
一次函数$y=ax-a$中，斜率$a＜0$，直线从左上向右下倾斜，截距$-a＞0$，即直线与$y$轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、四象限。
观察选项，B中反比例函数在第一、三象限，不符合；D中反比例函数在第二、四象限，一次函数的倾斜方向、与$y$轴交点位置均符合要求。
综上，只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的经典题型，解题关键是对参数$a$分类讨论，结合两类函数的图象规律逐一排除错误选项，熟练掌握函数系数和图象特征的对应关系是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
【例3】若点$A(-5,y_1),B(-3,y_2),C(2,y_3)$都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
D
）A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
【例3】D
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：思路1：先根据反比例函数的k值判断图象所在象限与增减性，先区分不同象限内点的函数值正负（第一象限y值恒正，第三象限y值恒负），再对同象限内的点利用增减性比较函数值大小；思路2：直接将三个点的横坐标代入函数解析式，算出对应的y值，再比较实数大小即可得到结果。
【解析】
方法一（利用反比例函数性质求解）：
在反比例函数$y=\frac{3}{x}$中，$k=3＞0$，
∴该函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$A(-5,y_1)$、$B(-3,y_2)$的横坐标为负，两点均在第三象限，
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，
又
∵$-5＜-3$，根据增减性可得$y_2＜y_1$；
∵点$C(2,y_3)$的横坐标为正，点$C$在第一象限，
∴$y_3＞0$，
综上可得：$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二（代入计算求解）：
将$x=-5$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y_1=\frac{3}{-5}=-\frac{3}{5}$；
将$x=-3$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y_2=\frac{3}{-3}=-1$；
将$x=2$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y_3=\frac{3}{2}$；
∵$-1＜-\frac{3}{5}＜\frac{3}{2}$，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数比较函数值的基础题型，既可以通过性质分析快速判断，也可以代入计算直观得到结果，熟练掌握反比例函数的象限分布、增减性是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：思路1：先根据反比例函数的k值判断图象所在象限与增减性，先区分不同象限内点的函数值正负（第一象限y值恒正，第三象限y值恒负），再对同象限内的点利用增减性比较函数值大小；思路2：直接将三个点的横坐标代入函数解析式，算出对应的y值，再比较实数大小即可得到结果。
【解析】
方法一（利用反比例函数性质求解）：
在反比例函数$y=\frac{3}{x}$中，$k=3＞0$，
∴该函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵点$A(-5,y_1)$、$B(-3,y_2)$的横坐标为负，两点均在第三象限，
∴$y_1＜0$，$y_2＜0$，
又
∵$-5＜-3$，根据增减性可得$y_2＜y_1$；
∵点$C(2,y_3)$的横坐标为正，点$C$在第一象限，
∴$y_3＞0$，
综上可得：$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二（代入计算求解）：
将$x=-5$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y_1=\frac{3}{-5}=-\frac{3}{5}$；
将$x=-3$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y_2=\frac{3}{-3}=-1$；
将$x=2$代入$y=\frac{3}{x}$，得$y_3=\frac{3}{2}$；
∵$-1＜-\frac{3}{5}＜\frac{3}{2}$，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数比较函数值的基础题型，既可以通过性质分析快速判断，也可以代入计算直观得到结果，熟练掌握反比例函数的象限分布、增减性是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
(改变条件)若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)(x_1＜0＜x_2＜x_3)$都在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 (
A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
A
)A.$y_1＜y_3＜y_2$
B.$y_1＜y_2＜y_3$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小，思考步骤如下：第一步先根据反比例函数的k值判断图象所在象限以及增减性；第二步根据各点横坐标的正负判断点所在的象限，确定对应y值的正负，先区分出不同象限点的y值大小；第三步对同象限内的点，利用增减性比较对应y值的大小，最终得出三个y值的大小关系。注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不可跨象限直接用增减性比较。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，其中$k=3＞0$，
∴该函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜0$，
∴点$A(x_1,y_1)$在第三象限，故$y_1＜0$；
∵$0＜x_2＜x_3$，
∴点$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$都在第一象限，故$y_2＞0$，$y_3＞0$。
又
∵第一象限内$y$随$x$的增大而减小，且$x_2＜x_3$，
∴$y_2＞y_3$。
综上可得：$y_1＜0＜y_3＜y_2$，即$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数值的大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点，比较不同象限点的函数值大小时，可先根据象限判断函数值的正负，再进一步比较，避免直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是利用反比例函数的图象与性质比较函数值大小，思考步骤如下：第一步先根据反比例函数的k值判断图象所在象限以及增减性；第二步根据各点横坐标的正负判断点所在的象限，确定对应y值的正负，先区分出不同象限点的y值大小；第三步对同象限内的点，利用增减性比较对应y值的大小，最终得出三个y值的大小关系。注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不可跨象限直接用增减性比较。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{3}{x}$，其中$k=3＞0$，
∴该函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$x_1＜0$，
∴点$A(x_1,y_1)$在第三象限，故$y_1＜0$；
∵$0＜x_2＜x_3$，
∴点$B(x_2,y_2)$、$C(x_3,y_3)$都在第一象限，故$y_2＞0$，$y_3＞0$。
又
∵第一象限内$y$随$x$的增大而减小，且$x_2＜x_3$，
∴$y_2＞y_3$。
综上可得：$y_1＜0＜y_3＜y_2$，即$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数值的大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点，比较不同象限点的函数值大小时，可先根据象限判断函数值的正负，再进一步比较，避免直接套用增减性导致错误。
【难度系数】
0.8
4.已知点$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(3,y_3)$均在反比例函数$y=-\frac{5}{x}$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
B
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_3＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
4.B
解析
【分析】
要比较三个点纵坐标的大小，有两种常用思路：①直接代入法：将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，计算出对应的y值后直接比较大小；②性质判断法：先根据反比例函数的k值判断图象所在象限和增减性，再结合各点横坐标的正负判断点所在的象限，第二象限的点纵坐标恒为正，第四象限的点纵坐标恒为负，先确定最大值，再同象限内根据增减性比较剩余两个值的大小即可。
【解析】
方法一（代入计算法）：
将三个点的横坐标分别代入$y=-\frac{5}{x}$：
当$x=-2$时，$y_1=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}$；
当$x=1$时，$y_2=-\frac{5}{1}=-5$；
当$x=3$时，$y_3=-\frac{5}{3}$。
比较大小：$-5 ＜ -\frac{5}{3} ＜ \frac{5}{2}$，即$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
方法二（性质判断法）：
反比例函数$y=-\frac{5}{x}$中，$k=-5 ＜ 0$，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(-2,y_1)$的横坐标为负，在第二象限，
∴$y_1 ＞ 0$；
点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标为正，在第四象限，
∴$y_2 ＜ 0$，$y_3 ＜ 0$。
∵在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$1 ＜ 3$，
∴$y_2 ＜ y_3$。
综上可得：$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
3.实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础常考题，既可以通过直接代入计算的方式准确求解，也可以利用函数图象的增减性快速判断，解题时注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免跨象限直接比较出错。
【难度系数】
0.8
要比较三个点纵坐标的大小，有两种常用思路：①直接代入法：将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，计算出对应的y值后直接比较大小；②性质判断法：先根据反比例函数的k值判断图象所在象限和增减性，再结合各点横坐标的正负判断点所在的象限，第二象限的点纵坐标恒为正，第四象限的点纵坐标恒为负，先确定最大值，再同象限内根据增减性比较剩余两个值的大小即可。
【解析】
方法一（代入计算法）：
将三个点的横坐标分别代入$y=-\frac{5}{x}$：
当$x=-2$时，$y_1=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}$；
当$x=1$时，$y_2=-\frac{5}{1}=-5$；
当$x=3$时，$y_3=-\frac{5}{3}$。
比较大小：$-5 ＜ -\frac{5}{3} ＜ \frac{5}{2}$，即$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
方法二（性质判断法）：
反比例函数$y=-\frac{5}{x}$中，$k=-5 ＜ 0$，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
点$A(-2,y_1)$的横坐标为负，在第二象限，
∴$y_1 ＞ 0$；
点$B(1,y_2)$、$C(3,y_3)$的横坐标为正，在第四象限，
∴$y_2 ＜ 0$，$y_3 ＜ 0$。
∵在第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$1 ＜ 3$，
∴$y_2 ＜ y_3$。
综上可得：$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
3.实数大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础常考题，既可以通过直接代入计算的方式准确求解，也可以利用函数图象的增减性快速判断，解题时注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免跨象限直接比较出错。
【难度系数】
0.8
