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【例 1】如图，BD，CE 是△ABC 的高，M 为 BC 的中点.试说明点 B，C，D，E 在以点 M 为圆心的同一个圆上.
解:
【规律方法】
利用圆的定义，可以判断多点是否在同一个圆上，实质上是寻找一个定点，判断这些点到定点的距离是否相等.若存在这样的定点，则这些点在同一个圆上；若不存在这样的定点，则这些点不在同一个圆上.反过来，已知点在圆上，利用定义也可以确定圆心的位置.
解:
【规律方法】
利用圆的定义，可以判断多点是否在同一个圆上，实质上是寻找一个定点，判断这些点到定点的距离是否相等.若存在这样的定点，则这些点在同一个圆上；若不存在这样的定点，则这些点不在同一个圆上.反过来，已知点在圆上，利用定义也可以确定圆心的位置.
答案
如图,连接 ME,MD.
因为 BD,CE 均为△ABC 的高,所以△BEC 和△BDC 都是直角三角形.又因为 M 为 BC 的中点,所以 ME = MD = MC = MB = $\frac{1}{2}BC$,
所以点 B,C,D,E 在以点 M 为圆心的同一个圆上.
解析
【分析】
要判断点B、C、D、E在以M为圆心的同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到点M的距离相等即可。首先结合已知条件分析：BD、CE是△ABC的高，可得△BEC和△BDC都是直角三角形，且BC是两个直角三角形的公共斜边，又已知M是BC的中点，此时可通过连接ME、MD，利用直角三角形斜边中线的性质，证明四条线段ME、MD、MB、MC长度相等，即可得出结论。
【解析】
1. 作辅助线：连接ME、MD。
2. 判定直角三角形：因为BD、CE均为△ABC的高，所以BD⊥AC，CE⊥AB，因此△BEC和△BDC都是直角三角形，且二者斜边均为BC。
3. 运用直角三角形性质：已知M为BC的中点，根据“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”，可得在Rt△BEC中，$ME=MB=MC=\frac{1}{2}BC$；在Rt△BDC中，$MD=MB=MC=\frac{1}{2}BC$。
4. 结合圆的定义判定共圆：由上述推导可得$ME = MD = MC = MB = \frac{1}{2}BC$，即B、C、D、E四个点到定点M的距离相等，因此这四个点在以点M为圆心的同一个圆上。
【答案】
如图,连接 ME,MD.
因为 BD,CE 均为△ABC 的高,所以△BEC 和△BDC 都是直角三角形.又因为 M 为 BC 的中点,所以 ME = MD = MC = MB = $\frac{1}{2}BC$,
所以点 B,C,D,E 在以点 M 为圆心的同一个圆上.
【知识点】
1.圆的定义
2.直角三角形斜边中线性质
3.四点共圆判定
【点评】
本题是圆的基本概念的典型应用，解题核心是将“多点共圆”的判定转化为“多点到定点距离相等”的证明，同时结合了直角三角形的性质，有助于学生理解圆的定义的实际应用，掌握判定多点共圆的基础方法。
【难度系数】
0.7
要判断点B、C、D、E在以M为圆心的同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到点M的距离相等即可。首先结合已知条件分析：BD、CE是△ABC的高，可得△BEC和△BDC都是直角三角形，且BC是两个直角三角形的公共斜边，又已知M是BC的中点，此时可通过连接ME、MD，利用直角三角形斜边中线的性质，证明四条线段ME、MD、MB、MC长度相等，即可得出结论。
【解析】
1. 作辅助线：连接ME、MD。
2. 判定直角三角形：因为BD、CE均为△ABC的高，所以BD⊥AC，CE⊥AB，因此△BEC和△BDC都是直角三角形，且二者斜边均为BC。
3. 运用直角三角形性质：已知M为BC的中点，根据“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”，可得在Rt△BEC中，$ME=MB=MC=\frac{1}{2}BC$；在Rt△BDC中，$MD=MB=MC=\frac{1}{2}BC$。
4. 结合圆的定义判定共圆：由上述推导可得$ME = MD = MC = MB = \frac{1}{2}BC$，即B、C、D、E四个点到定点M的距离相等，因此这四个点在以点M为圆心的同一个圆上。
【答案】
如图,连接 ME,MD.
因为 BD,CE 均为△ABC 的高,所以△BEC 和△BDC 都是直角三角形.又因为 M 为 BC 的中点,所以 ME = MD = MC = MB = $\frac{1}{2}BC$,
所以点 B,C,D,E 在以点 M 为圆心的同一个圆上.
【知识点】
1.圆的定义
2.直角三角形斜边中线性质
3.四点共圆判定
【点评】
本题是圆的基本概念的典型应用，解题核心是将“多点共圆”的判定转化为“多点到定点距离相等”的证明，同时结合了直角三角形的性质，有助于学生理解圆的定义的实际应用，掌握判定多点共圆的基础方法。
【难度系数】
0.7
1.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,三个顶点$A,B,C$在$\odot O$上.求证:$Rt△ ABC$的斜边$AB$的中点是$\odot O$的圆心.
答案
证明:由题意可知 O 为圆心,OA = OB = OC,则 ∠OAC = ∠OCA, ∠OBC = ∠OCB,
所以 ∠AOC = 180°−2∠OCA, ∠BOC = 180°−2∠OCB.
又因为∠ACB=90°,
所以∠AOC+∠BOC=360°−2(∠OCA+∠OCB)=360°−2∠ACB=180°,
所以点 O 在 AB 上.又 OA=OB,所以 O 为 AB 的中点,所以 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点是$\odot O$的圆心.
所以 ∠AOC = 180°−2∠OCA, ∠BOC = 180°−2∠OCB.
又因为∠ACB=90°,
所以∠AOC+∠BOC=360°−2(∠OCA+∠OCB)=360°−2∠ACB=180°,
所以点 O 在 AB 上.又 OA=OB,所以 O 为 AB 的中点,所以 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点是$\odot O$的圆心.
解析
【分析】
要证明Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心，可按如下思路推导：首先由A、B、C均在⊙O上，可知OA、OB、OC都是⊙O的半径，长度相等，因此△OAC、△OBC均为等腰三角形，底角相等。接下来只需先证明圆心O在AB边上，再结合OA=OB即可得出O是AB中点；要证O在AB上，可通过角度计算证明∠AOC+∠BOC=180°，即A、O、B三点共线，结合已知∠ACB=90°，利用三角形内角和定理即可完成角度推导。
【解析】
证明：由题意可知O为圆心，OA = OB = OC，
则∠OAC = ∠OCA，∠OBC = ∠OCB，
所以∠AOC = 180°−2∠OCA，∠BOC = 180°−2∠OCB。
又因为∠ACB=90°，
所以∠AOC+∠BOC=360°−2(∠OCA+∠OCB)=360°−2∠ACB=180°，
所以点O在AB上。又OA=OB，所以O为AB的中点，即Rt△ABC的斜边AB的中点是⊙O的圆心。
【答案】
Rt△ABC的斜边AB的中点是⊙O的圆心，得证。
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础证明题，综合考察了圆的基本概念和三角形的角度性质，解题核心是通过角度运算证明三点共线，通过本题可加深对直角三角形外接圆圆心位置的理解。
【难度系数】
0.8
要证明Rt△ABC斜边AB的中点是⊙O的圆心，可按如下思路推导：首先由A、B、C均在⊙O上，可知OA、OB、OC都是⊙O的半径，长度相等，因此△OAC、△OBC均为等腰三角形，底角相等。接下来只需先证明圆心O在AB边上，再结合OA=OB即可得出O是AB中点；要证O在AB上，可通过角度计算证明∠AOC+∠BOC=180°，即A、O、B三点共线，结合已知∠ACB=90°，利用三角形内角和定理即可完成角度推导。
【解析】
证明：由题意可知O为圆心，OA = OB = OC，
则∠OAC = ∠OCA，∠OBC = ∠OCB，
所以∠AOC = 180°−2∠OCA，∠BOC = 180°−2∠OCB。
又因为∠ACB=90°，
所以∠AOC+∠BOC=360°−2(∠OCA+∠OCB)=360°−2∠ACB=180°，
所以点O在AB上。又OA=OB，所以O为AB的中点，即Rt△ABC的斜边AB的中点是⊙O的圆心。
【答案】
Rt△ABC的斜边AB的中点是⊙O的圆心，得证。
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础证明题，综合考察了圆的基本概念和三角形的角度性质，解题核心是通过角度运算证明三点共线，通过本题可加深对直角三角形外接圆圆心位置的理解。
【难度系数】
0.8
【例2】如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,AD=8 cm.
(1)若以点A为圆心,6 cm为半径作$\odot A$,判断点B,C,D与$\odot A$的位置关系.
(2)若作$\odot A$,使B,C,D三点中至少有一个点在$\odot A$内,且至少有一个点在$\odot A$外,求$\odot A$的半径r的取值范围.
解:
【规律方法】
已知点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系,可以判断点与圆的位置关系;反过来,由点与圆的位置关系也可以确定d与r的数量关系.
(1)若以点A为圆心,6 cm为半径作$\odot A$,判断点B,C,D与$\odot A$的位置关系.
(2)若作$\odot A$,使B,C,D三点中至少有一个点在$\odot A$内,且至少有一个点在$\odot A$外,求$\odot A$的半径r的取值范围.
解:
【规律方法】
已知点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系,可以判断点与圆的位置关系;反过来,由点与圆的位置关系也可以确定d与r的数量关系.
答案
(1)点 B 在$\odot A$上,点 C 在$\odot A$外,点 D 在$\odot A$外.
(2)$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$.
(2)$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内；若d＞r，点在圆外。
（1）首先需要求出点B、C、D到圆心A的距离，再和半径6cm比较，即可确定各点和$\odot A$的位置关系，其中AC是矩形对角线，可用勾股定理计算长度。
（2）先找到B、C、D三点到A的距离的最小值和最大值，要满足“至少有一个点在圆内，至少有一个点在圆外”，则半径r需大于最小距离、小于最大距离，即可得到r的取值范围。
【解析】
解：(1) 连接AC，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，BC=AD=8 cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
已知$\odot A$的半径$r=6\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB=6\ \mathrm{cm}=r$，
∴ 点B在$\odot A$上；
∵ $AD=8\ \mathrm{cm}＞r$，
∴ 点D在$\odot A$外；
∵ $AC=10\ \mathrm{cm}＞r$，
∴ 点C在$\odot A$外。
(2) 点B、C、D到点A的距离分别为$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=8\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，其中最小距离为$6\ \mathrm{cm}$，最大距离为$10\ \mathrm{cm}$。
要使三点中至少有一个点在$\odot A$内，且至少有一个点在$\odot A$外，则半径r需满足：
$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)点B在$\odot A$上，点C在$\odot A$外，点D在$\odot A$外；
(2)$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查点和圆的位置关系的判定，解题关键是熟练掌握点与圆位置关系和“点到圆心的距离、半径”的数量关系的对应，第二问要准确理解题意，找到半径的临界取值即可求解。
【难度系数】
0.8
要判断点与圆的位置关系，核心是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内；若d＞r，点在圆外。
（1）首先需要求出点B、C、D到圆心A的距离，再和半径6cm比较，即可确定各点和$\odot A$的位置关系，其中AC是矩形对角线，可用勾股定理计算长度。
（2）先找到B、C、D三点到A的距离的最小值和最大值，要满足“至少有一个点在圆内，至少有一个点在圆外”，则半径r需大于最小距离、小于最大距离，即可得到r的取值范围。
【解析】
解：(1) 连接AC，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，BC=AD=8 cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
已知$\odot A$的半径$r=6\ \mathrm{cm}$，
∵ $AB=6\ \mathrm{cm}=r$，
∴ 点B在$\odot A$上；
∵ $AD=8\ \mathrm{cm}＞r$，
∴ 点D在$\odot A$外；
∵ $AC=10\ \mathrm{cm}＞r$，
∴ 点C在$\odot A$外。
(2) 点B、C、D到点A的距离分别为$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AD=8\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，其中最小距离为$6\ \mathrm{cm}$，最大距离为$10\ \mathrm{cm}$。
要使三点中至少有一个点在$\odot A$内，且至少有一个点在$\odot A$外，则半径r需满足：
$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)点B在$\odot A$上，点C在$\odot A$外，点D在$\odot A$外；
(2)$6\ \mathrm{cm}＜r＜10\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查点和圆的位置关系的判定，解题关键是熟练掌握点与圆位置关系和“点到圆心的距离、半径”的数量关系的对应，第二问要准确理解题意，找到半径的临界取值即可求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图, 在$△ ABC$中, $∠ BAC = 90°$, $AB = 3\ \mathrm{cm}$,$AC=4\ \mathrm{cm}$,$AD$是高线,$AE$是中线.
(1)以点$A$为圆心,$3\ \mathrm{cm}$为半径作$\odot A$,判断点$B,D,E,C$与$\odot A$的位置关系.
(2)若以点$A$为圆心作$\odot A$,使$B,C,D$三点中至少有一个点在$\odot A$内,且至少有一个点在$\odot A$外,求$\odot A$的半径$r$的取值范围.
(1)以点$A$为圆心,$3\ \mathrm{cm}$为半径作$\odot A$,判断点$B,D,E,C$与$\odot A$的位置关系.
(2)若以点$A$为圆心作$\odot A$,使$B,C,D$三点中至少有一个点在$\odot A$内,且至少有一个点在$\odot A$外,求$\odot A$的半径$r$的取值范围.
答案
(1)点 B 在$\odot A$上,点 D,E 在$\odot A$内,点 C 在$\odot A$外.
(2)$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}＜r＜4\ \mathrm{cm}$.
(2)$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}＜r＜4\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1)判断点与圆的位置关系的核心是比较点到圆心A的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d＜r$时点在圆内，$d=r$时点在圆上，$d＞r$时点在圆外。首先已知$AB$、$AC$的长度，再通过勾股定理计算斜边$BC$的长度，利用直角三角形斜边中线性质求$AE$的长度，用三角形面积法求高线$AD$的长度，分别和半径$3\mathrm{cm}$比较即可得到各点的位置关系。
(2)要满足$B、C、D$三点中至少一个在圆内、至少一个在圆外，只需让半径$r$介于三点到点A距离的最小值和最大值之间即可，找到三个距离的最小、最大值即可确定$r$的取值范围。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3\mathrm{cm}$，$AC=4\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$
①点$B$到$A$的距离$AB=3\mathrm{cm}$，和$\odot A$的半径相等，故点$B$在$\odot A$上；
②$AD$是$BC$边上的高线，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AD$，解得$AD=\frac{12}{5}=2.4\mathrm{cm}$，$2.4\mathrm{cm}＜3\mathrm{cm}$，故点$D$在$\odot A$内；
③$AE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AE=\frac{1}{2}BC=2.5\mathrm{cm}$，$2.5\mathrm{cm}＜3\mathrm{cm}$，故点$E$在$\odot A$内；
④点$C$到$A$的距离$AC=4\mathrm{cm}＞3\mathrm{cm}$，故点$C$在$\odot A$外。
(2)$B、C、D$三点到点$A$的距离分别为$AD=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$，$AB=3\mathrm{cm}$，$AC=4\mathrm{cm}$，最小距离为$AD=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$，最大距离为$AC=4\mathrm{cm}$。要满足三点中至少一个点在圆内，至少一个点在圆外，则半径$r$需大于最小距离、小于最大距离，即$\frac{12}{5}\mathrm{cm}＜r＜4\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)点$B$在$\odot A$上，点$D、E$在$\odot A$内，点$C$在$\odot A$外；
(2)$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}＜r＜4\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
点与圆的位置关系，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是熟记点到圆心的距离和半径的大小关系对应的位置判定规则，结合直角三角形的相关性质计算线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
(1)判断点与圆的位置关系的核心是比较点到圆心A的距离$d$和圆半径$r$的大小：$d＜r$时点在圆内，$d=r$时点在圆上，$d＞r$时点在圆外。首先已知$AB$、$AC$的长度，再通过勾股定理计算斜边$BC$的长度，利用直角三角形斜边中线性质求$AE$的长度，用三角形面积法求高线$AD$的长度，分别和半径$3\mathrm{cm}$比较即可得到各点的位置关系。
(2)要满足$B、C、D$三点中至少一个在圆内、至少一个在圆外，只需让半径$r$介于三点到点A距离的最小值和最大值之间即可，找到三个距离的最小、最大值即可确定$r$的取值范围。
【解析】
(1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3\mathrm{cm}$，$AC=4\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\mathrm{cm}$
①点$B$到$A$的距离$AB=3\mathrm{cm}$，和$\odot A$的半径相等，故点$B$在$\odot A$上；
②$AD$是$BC$边上的高线，由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，代入数值：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AD$，解得$AD=\frac{12}{5}=2.4\mathrm{cm}$，$2.4\mathrm{cm}＜3\mathrm{cm}$，故点$D$在$\odot A$内；
③$AE$是$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AE=\frac{1}{2}BC=2.5\mathrm{cm}$，$2.5\mathrm{cm}＜3\mathrm{cm}$，故点$E$在$\odot A$内；
④点$C$到$A$的距离$AC=4\mathrm{cm}＞3\mathrm{cm}$，故点$C$在$\odot A$外。
(2)$B、C、D$三点到点$A$的距离分别为$AD=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$，$AB=3\mathrm{cm}$，$AC=4\mathrm{cm}$，最小距离为$AD=\frac{12}{5}\mathrm{cm}$，最大距离为$AC=4\mathrm{cm}$。要满足三点中至少一个点在圆内，至少一个点在圆外，则半径$r$需大于最小距离、小于最大距离，即$\frac{12}{5}\mathrm{cm}＜r＜4\mathrm{cm}$。
【答案】
(1)点$B$在$\odot A$上，点$D、E$在$\odot A$内，点$C$在$\odot A$外；
(2)$\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}＜r＜4\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
点与圆的位置关系，直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，解题关键是熟记点到圆心的距离和半径的大小关系对应的位置判定规则，结合直角三角形的相关性质计算线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
