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8. 如图，C为直线AB外一点，作射线AC，连结BC，则图中共有射线
6
条，其中能用图中给出的字母表示出来的射线有3
条。答案
8. 6 3
解析
【分析】解题时先回忆射线的核心特征：有1个端点，向一端无限延伸。计数时按端点分类统计，避免重复或遗漏；表示射线时，需要用到端点和射线上另一个点的字母，且端点字母必须写在前面。第一步先找到所有端点，分别统计每个端点对应的不同方向射线，求和得到总条数；第二步筛选出能用图中已有字母表示的射线，统计数量即可。
【解析】
1. 统计所有射线：
① 以A为端点：沿直线AB向左延伸1条，沿直线AB向B方向延伸1条，沿AC向C方向延伸1条，共3条；
② 以B为端点：沿直线AB向A方向延伸1条，沿直线AB向右延伸1条，共2条；
③ 以C为端点：沿AC所在直线向远离A的方向延伸1条，共1条；
总射线条数：$3+2+1=6$条。
2. 统计可用图中字母表示的射线：
射线表示需要端点和射线上另一个已知字母：
以A为端点、过B的射线可表示为射线AB；
以A为端点、过C的射线可表示为射线AC；
以B为端点、过A的射线可表示为射线BA；
剩余3条射线（A向左、B向右、C向右上）没有第二个可用来表示的字母，无法表示，因此可表示的射线共3条。
【答案】6；3
【知识点】射线的定义；射线的表示
【点评】本题易错点是计数时漏算某一方向的射线，或混淆射线表示的规则，解题时按端点分类梳理每个方向的射线，能有效降低错误率。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 统计所有射线：
① 以A为端点：沿直线AB向左延伸1条，沿直线AB向B方向延伸1条，沿AC向C方向延伸1条，共3条；
② 以B为端点：沿直线AB向A方向延伸1条，沿直线AB向右延伸1条，共2条；
③ 以C为端点：沿AC所在直线向远离A的方向延伸1条，共1条；
总射线条数：$3+2+1=6$条。
2. 统计可用图中字母表示的射线：
射线表示需要端点和射线上另一个已知字母：
以A为端点、过B的射线可表示为射线AB；
以A为端点、过C的射线可表示为射线AC；
以B为端点、过A的射线可表示为射线BA；
剩余3条射线（A向左、B向右、C向右上）没有第二个可用来表示的字母，无法表示，因此可表示的射线共3条。
【答案】6；3
【知识点】射线的定义；射线的表示
【点评】本题易错点是计数时漏算某一方向的射线，或混淆射线表示的规则，解题时按端点分类梳理每个方向的射线，能有效降低错误率。
【难度系数】0.7
9. 如图,已知A,B,C,D四个点,请按要求画图:
(1)画线段AC。
(2)画射线BD。
(3)画直线m,使得点A与点B在直线m外,点C与点D在直线m上。
(1)画线段AC。
(2)画射线BD。
(3)画直线m,使得点A与点B在直线m外,点C与点D在直线m上。
答案
解：
(1) 用直尺连接点A和点C，两端不向外延伸，所得图形即为线段AC。
(2) 以点B为端点，经过点D向远离点B的D侧无限延伸，所得图形即为射线BD。
(3) 经过点C、点D画一条向两方都无限延伸的直线，将该直线标记为m，此时点A、点B均在直线m外，满足题目要求，该直线即为所求的直线m。
(1) 用直尺连接点A和点C，两端不向外延伸，所得图形即为线段AC。
(2) 以点B为端点，经过点D向远离点B的D侧无限延伸，所得图形即为射线BD。
(3) 经过点C、点D画一条向两方都无限延伸的直线，将该直线标记为m，此时点A、点B均在直线m外，满足题目要求，该直线即为所求的直线m。
解析
【分析】
解题时需先明确线段、射线、直线的核心特征：线段有2个端点，不可延伸；射线有1个端点，仅可向远离端点的一侧无限延伸；直线无端点，可向两侧无限延伸。具体思路如下：
(1) 画线段AC只需连接A、C两个端点即可，无需额外延长；
(2) 画射线BD需先确定端点为B，再使射线经过D点，向D侧无限延伸；
(3) 根据“两点确定一条直线”，过C、D两点画直线即可保证C、D在直线上，观察图形可知A、B不在该直线上，满足题目要求。
【解析】
(1) 用直尺对齐点A和点C，沿直尺边缘连接A、C两点，两端不向外延伸，得到线段AC；
(2) 用直尺对齐点B和点D，以B为端点，沿B向D的方向过D点后继续向远离B的一侧延伸，得到射线BD；
(3) 用直尺对齐点C和点D，沿直尺边缘画一条过C、D且向两方无限延伸的直线，标记为m，验证得点A、B均在直线m外，符合要求。
【答案】
(1) 用直尺连接点A和点C，两端不向外延伸，所得图形即为线段AC。
(2) 以点B为端点，经过点D向远离点B的D侧无限延伸，所得图形即为射线BD。
(3) 经过点C、点D画一条向两方都无限延伸的直线，将该直线标记为m，此时点A、点B均在直线m外，满足题目要求，该直线即为所求的直线m。
【知识点】
线段的画法；射线的画法；直线的性质
【点评】
本题考查线段、射线、直线的基础画法，解题时要注意区分三类线的特征，尤其要注意射线的端点和延伸方向，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.9
解题时需先明确线段、射线、直线的核心特征：线段有2个端点，不可延伸；射线有1个端点，仅可向远离端点的一侧无限延伸；直线无端点，可向两侧无限延伸。具体思路如下：
(1) 画线段AC只需连接A、C两个端点即可，无需额外延长；
(2) 画射线BD需先确定端点为B，再使射线经过D点，向D侧无限延伸；
(3) 根据“两点确定一条直线”，过C、D两点画直线即可保证C、D在直线上，观察图形可知A、B不在该直线上，满足题目要求。
【解析】
(1) 用直尺对齐点A和点C，沿直尺边缘连接A、C两点，两端不向外延伸，得到线段AC；
(2) 用直尺对齐点B和点D，以B为端点，沿B向D的方向过D点后继续向远离B的一侧延伸，得到射线BD；
(3) 用直尺对齐点C和点D，沿直尺边缘画一条过C、D且向两方无限延伸的直线，标记为m，验证得点A、B均在直线m外，符合要求。
【答案】
(1) 用直尺连接点A和点C，两端不向外延伸，所得图形即为线段AC。
(2) 以点B为端点，经过点D向远离点B的D侧无限延伸，所得图形即为射线BD。
(3) 经过点C、点D画一条向两方都无限延伸的直线，将该直线标记为m，此时点A、点B均在直线m外，满足题目要求，该直线即为所求的直线m。
【知识点】
线段的画法；射线的画法；直线的性质
【点评】
本题考查线段、射线、直线的基础画法，解题时要注意区分三类线的特征，尤其要注意射线的端点和延伸方向，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.9
10. 按要求画出图形,并回答问题:
(1)画直线 l,在直线 l 上取 A,B,C 三点,使点 C 在线段 AB 上,在直线 l 外取一点 P,画直线 BP,射线 PC,连结 AP。
(2)在(1)中所画图中,共有几条直线,几条射线,几条线段?请把所有直线和线段用图中的字母表示出来。
(1)画直线 l,在直线 l 上取 A,B,C 三点,使点 C 在线段 AB 上,在直线 l 外取一点 P,画直线 BP,射线 PC,连结 AP。
(2)在(1)中所画图中,共有几条直线,几条射线,几条线段?请把所有直线和线段用图中的字母表示出来。
答案
10. (1)如图。
(2)2条直线,12条射线,6条线段,直线l,直线BP,线段AC,BC,AB,AP,CP,BP。
解析
【分析】
(1) 画图时严格按照题目指令分步操作：先画直线l，在直线l上按顺序取A、C、B三点，保证C在线段AB之间；再在直线l外任选一点P，过B、P两点画直线BP（两端出头，体现直线无限延伸的特征）；以P为端点，过C点画射线PC（仅P端为端点，过C后向外延伸）；最后连接A、P两点画线段AP（两端均为端点，不向外延伸）即可。
(2) 计数时结合三类线的定义思考：①直线：无端点、可向两端无限延伸，直接找图中符合特征的线即可；②射线：仅有1个端点、仅可向一端无限延伸，按点逐个统计不同方向的射线，注意端点和延伸方向都相同才是同一条射线，避免重复计数；③线段：有2个端点、长度有限，计数时可固定一个端点，依次枚举可搭配的另一个端点，避免遗漏。
【解析】
(1) 按照题目要求依次绘制图形，结果如图所示。
(2) 分类计数如下：
① 直线：图中可向两端无限延伸的线有直线l、直线BP，共2条；
② 射线：按端点和延伸方向逐一统计，无重复无遗漏，共12条；
③ 线段：按端点有序枚举：以A为端点的线段有AC、AB、AP；以C为端点的未重复计数的线段有CB、CP；以B为端点的未重复计数的线段有BP，共6条。
其中直线为：直线l、直线BP；线段为：AC、BC、AB、AP、CP、BP。
【答案】
(1)如图。
(2)2条直线，12条射线，6条线段，直线l，直线BP，线段AC，BC，AB，AP，CP，BP。
【知识点】
直线的定义；射线的定义；线段的计数
【点评】
本题考查直线、射线、线段的基本概念与计数方法，核心是明确三类线的特征差异，计数时做到有序枚举即可避免重复或遗漏，是几何入门的基础训练题。
【难度系数】
0.7
(1) 画图时严格按照题目指令分步操作：先画直线l，在直线l上按顺序取A、C、B三点，保证C在线段AB之间；再在直线l外任选一点P，过B、P两点画直线BP（两端出头，体现直线无限延伸的特征）；以P为端点，过C点画射线PC（仅P端为端点，过C后向外延伸）；最后连接A、P两点画线段AP（两端均为端点，不向外延伸）即可。
(2) 计数时结合三类线的定义思考：①直线：无端点、可向两端无限延伸，直接找图中符合特征的线即可；②射线：仅有1个端点、仅可向一端无限延伸，按点逐个统计不同方向的射线，注意端点和延伸方向都相同才是同一条射线，避免重复计数；③线段：有2个端点、长度有限，计数时可固定一个端点，依次枚举可搭配的另一个端点，避免遗漏。
【解析】
(1) 按照题目要求依次绘制图形，结果如图所示。
(2) 分类计数如下：
① 直线：图中可向两端无限延伸的线有直线l、直线BP，共2条；
② 射线：按端点和延伸方向逐一统计，无重复无遗漏，共12条；
③ 线段：按端点有序枚举：以A为端点的线段有AC、AB、AP；以C为端点的未重复计数的线段有CB、CP；以B为端点的未重复计数的线段有BP，共6条。
其中直线为：直线l、直线BP；线段为：AC、BC、AB、AP、CP、BP。
【答案】
(1)如图。
(2)2条直线，12条射线，6条线段，直线l，直线BP，线段AC，BC，AB，AP，CP，BP。
【知识点】
直线的定义；射线的定义；线段的计数
【点评】
本题考查直线、射线、线段的基本概念与计数方法，核心是明确三类线的特征差异，计数时做到有序枚举即可避免重复或遗漏，是几何入门的基础训练题。
【难度系数】
0.7
11. 平面上不重合的两点确定1条直线，不同的三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定10条直线，则n的值为（
A.4
B.5
C.6
D.7
B
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
11. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确平面上不同的点最多确定直线的前提是任意三点不共线，此时每两个点可确定1条直线。我们先总结规律：n个点中，每个点能和其余(n-1)个点连线，共得到n(n-1)条连线，但每条直线会被两个端点各计算1次，因此重复了一倍，所以最多可确定的直线条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。接下来可以通过两种方法求解：一是根据题意列方程，求出正整数n；二是作为选择题，直接把选项代入公式验证，找到符合条件的n即可。
【解析】
平面上不同n个点最多确定直线的条件为任意三点不共线，此时最多可确定直线的条数公式为$\frac{n(n-1)}{2}$。
方法一：列方程求解
根据题意得$\frac{n(n-1)}{2}=10$
整理得$n^2 -n -20=0$
因式分解得$(n-5)(n+4)=0$
解得$n=5$或$n=-4$，因为点的个数为正整数，故舍去$n=-4$，即$n=5$。
方法二：代入选项验证
A. 当n=4时，最多直线数为$\frac{4×3}{2}=6≠10$，不符合；
B. 当n=5时，最多直线数为$\frac{5×4}{2}=10$，符合题意；
C. 当n=6时，最多直线数为$\frac{6×5}{2}=15≠10$，不符合；
D. 当n=7时，最多直线数为$\frac{7×6}{2}=21≠10$，不符合。
【答案】B
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 规律探究应用
3. 代入法验证
【点评】
本题结合直线的基本性质考察规律探究能力，解题时既可以通过归纳得到通用公式列方程求解，也可以利用选择题的特点用代入法快速得到答案，需要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，是直线相关的基础常考题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确平面上不同的点最多确定直线的前提是任意三点不共线，此时每两个点可确定1条直线。我们先总结规律：n个点中，每个点能和其余(n-1)个点连线，共得到n(n-1)条连线，但每条直线会被两个端点各计算1次，因此重复了一倍，所以最多可确定的直线条数为$\frac{n(n-1)}{2}$。接下来可以通过两种方法求解：一是根据题意列方程，求出正整数n；二是作为选择题，直接把选项代入公式验证，找到符合条件的n即可。
【解析】
平面上不同n个点最多确定直线的条件为任意三点不共线，此时最多可确定直线的条数公式为$\frac{n(n-1)}{2}$。
方法一：列方程求解
根据题意得$\frac{n(n-1)}{2}=10$
整理得$n^2 -n -20=0$
因式分解得$(n-5)(n+4)=0$
解得$n=5$或$n=-4$，因为点的个数为正整数，故舍去$n=-4$，即$n=5$。
方法二：代入选项验证
A. 当n=4时，最多直线数为$\frac{4×3}{2}=6≠10$，不符合；
B. 当n=5时，最多直线数为$\frac{5×4}{2}=10$，符合题意；
C. 当n=6时，最多直线数为$\frac{6×5}{2}=15≠10$，不符合；
D. 当n=7时，最多直线数为$\frac{7×6}{2}=21≠10$，不符合。
【答案】B
【知识点】
1. 两点确定一条直线
2. 规律探究应用
3. 代入法验证
【点评】
本题结合直线的基本性质考察规律探究能力，解题时既可以通过归纳得到通用公式列方程求解，也可以利用选择题的特点用代入法快速得到答案，需要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，是直线相关的基础常考题。
【难度系数】
0.7
12. A,B两城之间有铁路相通,两城之间有C,D两个停靠站,则往返于A,B两城之间的列车,共需制作的火车票有
12
种。答案
12. 12
解析
【分析】
解题第一步先明确总站点数量：A、B、C、D共4个站点。第二步要清楚火车票的特性：出发站和到达站不同则车票不同，往返的同一段路程对应两种不同车票。第三步先计算单向的车票种类，可通过数线段的方法计数4个站点之间的线段总数，就是单向车票的数量，最后乘2即可得到往返需要的总车票数。
【解析】
首先统计总站点：共有A、C、D、B4个站点。
先计算单向行驶的车票种类：
从A站出发，可到达C、D、B站，共3种车票；
从C站出发，可到达D、B站，共2种车票；
从D站出发，可到达B站，共1种车票；
单向总共有$3+2+1=6$种车票。
因为是往返运营，反向行驶的车票和单向不重复，也有6种，所以总共需要制作的火车票数量为$6×2=12$种。
【答案】
12
【知识点】
线段计数、分类计数
【点评】
本题结合生活场景考察线段计数的实际应用，解题的关键是注意火车票具有方向性，往返车票不属于同一种，避免忘记乘2导致漏算。
【难度系数】
0.7
解题第一步先明确总站点数量：A、B、C、D共4个站点。第二步要清楚火车票的特性：出发站和到达站不同则车票不同，往返的同一段路程对应两种不同车票。第三步先计算单向的车票种类，可通过数线段的方法计数4个站点之间的线段总数，就是单向车票的数量，最后乘2即可得到往返需要的总车票数。
【解析】
首先统计总站点：共有A、C、D、B4个站点。
先计算单向行驶的车票种类：
从A站出发，可到达C、D、B站，共3种车票；
从C站出发，可到达D、B站，共2种车票；
从D站出发，可到达B站，共1种车票；
单向总共有$3+2+1=6$种车票。
因为是往返运营，反向行驶的车票和单向不重复，也有6种，所以总共需要制作的火车票数量为$6×2=12$种。
【答案】
12
【知识点】
线段计数、分类计数
【点评】
本题结合生活场景考察线段计数的实际应用，解题的关键是注意火车票具有方向性，往返车票不属于同一种，避免忘记乘2导致漏算。
【难度系数】
0.7
13. (1)观察思考
观察以下图形,线段上的点依次增加,相应图中共有多少条线段?
(2)模型构建
若线段AB上有n个点时(包含A,B两点),该线段上共有多少条线段?
(3)拓展应用
12位学生参加学校乒乓球比赛,比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛),一共进行了多少场比赛?
观察以下图形,线段上的点依次增加,相应图中共有多少条线段?
(2)模型构建
若线段AB上有n个点时(包含A,B两点),该线段上共有多少条线段?
(3)拓展应用
12位学生参加学校乒乓球比赛,比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛),一共进行了多少场比赛?
答案
13. (1)1 3 6 10
(2)$\frac{n(n-1)}{2}$条线段。
(3)$\frac{12×(12-1)}{2}$=66(场)。答:一共进行了66场比赛。
(2)$\frac{n(n-1)}{2}$条线段。
(3)$\frac{12×(12-1)}{2}$=66(场)。答:一共进行了66场比赛。
解析
【分析】
(1) 数线段时要按照固定顺序枚举，避免重复和遗漏：以每个左侧的点为起点，数出以此为端点的所有线段后相加，就能得到总线段数，按该方法依次计算四个图的线段数即可。
(2) 推导通用公式：若线段上有n个点，每个点可与其余(n-1)个点连接形成线段，但每条线段会被重复计算2次，因此总数量要除以2；也可通过累加的方式，从(n-1)一直加到1，求和得到结果。
(3) 拓展应用中，可将12位学生看作线段上的12个点，每两位学生之间的一场比赛对应两点之间的一条线段，直接代入(2)的公式计算即可。
【解析】
(1) 第一个图：只有A、B2个端点，线段只有AB，共1条；
第二个图：有A、C、B3个端点，按顺序数得AC、AB、CB，共$2+1=3$条；
第三个图：有A、C、D、B4个端点，按顺序数得AC、AD、AB、CD、CB、DB，共$3+2+1=6$条；
第四个图：有A、C、D、E、B5个端点，按顺序数得AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，共$4+3+2+1=10$条；
(2) 当线段AB上有n个点（包含A、B两点）时，每个点能和其余$(n-1)$个点组成线段，共得到$n(n-1)$个组合，由于每条线段被重复计算了1次，因此总线段数为$\frac{n(n-1)}{2}$条；
(3) 单循环比赛中，把12位学生看作12个点，每场比赛对应两点间的一条线段，代入公式得：
$\frac{12×(12-1)}{2}=66$（场）
【答案】
(1) 1，3，6，10；
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$条线段；
(3) 一共进行了66场比赛。
【知识点】
线段计数、规律归纳、公式应用
【点评】
本题从基础的线段计数出发，逐步引导学生推导通用规律，再将规律迁移到实际问题中，既考查了有序计数的能力，也锻炼了归纳总结和知识迁移的能力，掌握有序不重复的计数方法、找准实际问题和线段计数模型的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 数线段时要按照固定顺序枚举，避免重复和遗漏：以每个左侧的点为起点，数出以此为端点的所有线段后相加，就能得到总线段数，按该方法依次计算四个图的线段数即可。
(2) 推导通用公式：若线段上有n个点，每个点可与其余(n-1)个点连接形成线段，但每条线段会被重复计算2次，因此总数量要除以2；也可通过累加的方式，从(n-1)一直加到1，求和得到结果。
(3) 拓展应用中，可将12位学生看作线段上的12个点，每两位学生之间的一场比赛对应两点之间的一条线段，直接代入(2)的公式计算即可。
【解析】
(1) 第一个图：只有A、B2个端点，线段只有AB，共1条；
第二个图：有A、C、B3个端点，按顺序数得AC、AB、CB，共$2+1=3$条；
第三个图：有A、C、D、B4个端点，按顺序数得AC、AD、AB、CD、CB、DB，共$3+2+1=6$条；
第四个图：有A、C、D、E、B5个端点，按顺序数得AC、AD、AE、AB、CD、CE、CB、DE、DB、EB，共$4+3+2+1=10$条；
(2) 当线段AB上有n个点（包含A、B两点）时，每个点能和其余$(n-1)$个点组成线段，共得到$n(n-1)$个组合，由于每条线段被重复计算了1次，因此总线段数为$\frac{n(n-1)}{2}$条；
(3) 单循环比赛中，把12位学生看作12个点，每场比赛对应两点间的一条线段，代入公式得：
$\frac{12×(12-1)}{2}=66$（场）
【答案】
(1) 1，3，6，10；
(2) $\frac{n(n-1)}{2}$条线段；
(3) 一共进行了66场比赛。
【知识点】
线段计数、规律归纳、公式应用
【点评】
本题从基础的线段计数出发，逐步引导学生推导通用规律，再将规律迁移到实际问题中，既考查了有序计数的能力，也锻炼了归纳总结和知识迁移的能力，掌握有序不重复的计数方法、找准实际问题和线段计数模型的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
