1.如图，$\odot O$的半径为3，P是弦AB延长线上的一点，连接OP.若$OP=4$，$∠ P=30°$，则弦AB的长为（）

A.$2\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.2

第1题图 第2题图

1.A

【分析】
要求弦AB的长度，可利用垂径定理求解：首先过圆心O作AB的垂线，将弦AB分成相等的两段，即AB=2AC，只需算出AC的长度即可。已知OP长度和∠P的度数，可先在含30°角的直角三角形OPC中求出OC的长度，再结合圆的半径，在直角三角形OAC中用勾股定理计算AC，最终得到AB的长。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，连接OA。
根据垂径定理可知：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
在$Rt△ OCP$中，$∠ P=30°$，$OP=4$，
由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：
$OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2$。
已知$\odot O$的半径$OA=3$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。
因此$AB=2AC=2\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题关键是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线的添作方法，将圆的问题转化为直角三角形的边长计算问题，结合特殊直角三角形性质和勾股定理即可求解。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$\odot O$中，$P$为弦$AB$上的一点，$AP=OA=5$，$BP=3$，则$OP$的长度为（）

A.$3$
B.$\sqrt{10}$
C.$\sqrt{7}$
D.$2\sqrt{2}$

2.B

【分析】
要计算OP的长度，属于圆中弦上点到圆心的线段求解问题，优先考虑圆的常用辅助线：过圆心作弦的垂线，结合垂径定理、勾股定理求解。首先先算出弦AB的总长度，作OM⊥AB于M，利用垂径定理得到AM的长度，先在Rt△OAM中求出OM的长，再求出P到垂足M的距离PM，最后在Rt△OPM中用勾股定理计算OP即可。
【解析】
过点O作$OM ⊥ AB$于点M，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得$AM=MB=\frac{1}{2}AB$。
1. 计算AB总长度：$AB=AP+BP=5+3=8$，因此$AM=\frac{1}{2} × 8=4$。
2. 在$Rt△ OAM$中，$OA=5$，$AM=4$，由勾股定理得：
$OM^2=OA^2-AM^2=5^2-4^2=25-16=9$，即$OM=3$。
3. 计算PM长度：$AP=5$，$AM=4$，因此$PM=AP-AM=5-4=1$。
4. 在$Rt△ OPM$中，由勾股定理得：
$OP=\sqrt{OM^2+PM^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题，解题关键是熟练掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线作法，结合垂径定理和勾股定理逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,以点$C$为圆心、$AC$长为半径的$\odot C$与$AB$交于点$D$.若$AC=6$,$BC=8$,则$AD=$.

3.$\frac{36}{5}$

【分析】
解题思路如下：1. 先在$\mathrm{Rt}△ABC$中利用勾股定理求出斜边$AB$的长度；2. 要求弦$AD$的长，根据圆中求弦长的常用方法，过圆心$C$作$CE⊥ AB$于$E$，由垂径定理可得$AD=2AE$，因此只需要求出$AE$的长度即可；3. 利用三角形的等面积法求出斜边$AB$上的高$CE$的长度；4. 在$\mathrm{Rt}△ACE$中用勾股定理求出$AE$，进而求出$AD$的长度。
【解析】
解：过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$。
根据垂径定理，可得$AD=2AE$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CE$，解得$CE=\frac{24}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$。
所以$AD=2AE=2×\frac{18}{5}=\frac{36}{5}$。
【答案】
$\frac{36}{5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，等面积法求高
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，解题的关键是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线的作法，结合直角三角形的相关性质即可求解，熟练掌握基础定理和方法能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在$△ ABC$中，$BC=3$，以$BC$为直径的$\odot O$交$AC$于点$D$. 已知$D$是$AC$的中点，$∠ ABC=120°$.
(1) $∠ ACB=$ °;
(2) 点$A$到直线$BC$的距离为 .

4.(1)30 (2)$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

【分析】
(1) 求∠ACB的度数时，首先利用BC是圆直径的条件，联想到直径所对圆周角为直角，连接辅助线BD可得BD⊥AC；结合D是AC中点的条件，可知BD是AC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AB=BC，即△ABC为等腰三角形，已知顶角∠ABC=120°，根据三角形内角和即可计算底角∠ACB的度数。
(2) 求点A到BC的距离，即过A作BC的垂线段，垂线段长度为所求；先根据等腰三角形性质得到AB的长度，再求出垂线段所在直角三角形的锐角度数，利用三角函数即可计算出垂线段的长度。
【解析】
(1) 连接BD，
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BDC=90°$，即$BD⊥ AC$，
又
∵ D是AC的中点，
∴ BD垂直平分AC，
∴ $AB=BC=3$，$△ ABC$为等腰三角形，
∴ $∠ ACB=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
(2) 过点A作$AE⊥ BC$，交CB的延长线于点E，
∵ $∠ ABC=120°$，
∴ $∠ ABE=180°-120°=60°$，
在$Rt△ ABE$中，$AB=3$，
∴ $AE=AB·\sin60°=3×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即点A到直线BC的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1)30；(2)$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
直径所对圆周角性质；线段垂直平分线性质；解直角三角形
【点评】
本题属于圆与三角形的综合基础题，解题的关键是正确连接直径对应的圆周角作为辅助线，结合等腰三角形性质和三角函数即可顺利求解，是圆中辅助线作法的典型应用题型。
【难度系数】
0.75

5.如图1，已知AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，$CE⊥AB$于点E，D为劣弧BC的中点，连接AD，分别交CE，CB于点F，G.
(1)求证：$CF=CG$；
(2)如图2，若$AF=DG$，连接OG，求证：$OG⊥AB$.

证明：(1)
∵ D为劣弧BC的中点，
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ CAD = ∠ BAD$。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，即$∠ ACG = 90°$，
∴ $∠ CAD + ∠ CGA = 90°$。
∵ $CE⊥ AB$，
∴ $∠ CEA = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ AFE = 90°$，
∴ $∠ CGA = ∠ AFE$。
又∵ $∠ AFE = ∠ CFG$，
∴ $∠ CGA = ∠ CFG$，
∴ $CF = CG$。
(2)
∵ $∠ CAF = ∠ BAD = ∠ CBD$，
∴ $∠ CAF = ∠ GBD$。
由(1)知$∠ CFG = ∠ CGF$，
∴ $180° - ∠ CFG = 180° - ∠ CGF$，即$∠ AFC = ∠ BGD$。
又∵ $AF = DG$，
∴ $△ ACF ≌ △ BDG$（AAS），
∴ $AC = BD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
又∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ ABC = ∠ BAD$，即$∠ GAB = ∠ GBA$，
∴ $AG = BG$。
∵ $OA = OB$，
∴ OG为等腰$△ AGB$底边AB上的中线，
∴ $OG⊥ AB$。

【分析】
(1) 要证CF=CG，根据等角对等边，只需证明∠CFG=∠CGF。首先由D为劣弧BC中点，可得AD平分∠CAB；再结合直径所对圆周角为直角、CE⊥AB的垂直关系，利用同角的余角相等可推出∠CGA=∠AFE，结合对顶角∠AFE=∠CFG，即可得到∠CGA=∠CFG，从而证得CF=CG。
(2) 要证OG⊥AB，已知OA=OB，若能证明AG=BG，根据等腰三角形三线合一即可得证。首先结合已知AF=DG、(1)中推导的角相等关系，证明△ACF≌△BDG，得到AC=BD，对应弧AC=弧BD；结合D是弧BC中点，可得弧AC=弧CD=弧BD，对应圆周角∠GAB=∠GBA，即AG=BG，最后利用等腰三角形三线合一即可证明OG⊥AB。
【解析】
(1) 证明：
∵ D为劣弧BC的中点，
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ CAD = ∠ BAD$。
∵ AB为$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，即$∠ ACG = 90°$，
∴ $∠ CAD + ∠ CGA = 90°$。
∵ $CE⊥ AB$，
∴ $∠ CEA = 90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ AFE = 90°$，
∴ $∠ CGA = ∠ AFE$。
又
∵ $∠ AFE = ∠ CFG$，
∴ $∠ CGA = ∠ CFG$，
∴ $CF = CG$。
(2) 证明：
∵ $∠ CAF = ∠ BAD = ∠ CBD$，
∴ $∠ CAF = ∠ GBD$。
由(1)知$∠ CFG = ∠ CGF$，
∴ $180° - ∠ CFG = 180° - ∠ CGF$，即$∠ AFC = ∠ BGD$。
又
∵ $AF = DG$，
∴ $△ ACF ≌ △ BDG$（AAS），
∴ $AC = BD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
又
∵ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴ $∠ ABC = ∠ BAD$，即$∠ GAB = ∠ GBA$，
∴ $AG = BG$。
∵ $OA = OB$，
∴ OG为等腰$△ AGB$底边AB上的中线，
∴ $OG⊥ AB$。
【答案】
(1) $CF=CG$，证明成立；
(2) $OG⊥AB$，证明成立。
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合证明题，解题关键是利用弧中点的性质实现弧、圆周角的等量转化，第一问结合直角三角形的余角性质推导等角，第二问通过全等三角形搭建边与弧的关系，再借助等腰三角形三线合一证明垂直，能较好地考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6

6.如图，DB与$\odot O$相切于点B，连接OD交$\odot O$于点A，$BC// OA$，$OC// AB$.若$\odot O$的半径为2，则线段BD的长为.

6.$2\sqrt{3}$

【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接圆心和切点OB，得到直角三角形OBD；接下来根据两组对边分别平行判定四边形OABC是平行四边形，结合圆的半径相等可证该平行四边形是菱形，进而推出△OAB是等边三角形，得到∠DOB的度数；最后在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出BD的长度。
【解析】
解：连接OB，
∵DB与$\odot O$相切于点B，
∴$OB⊥ DB$，即$∠ OBD=90°$，
∵$BC// OA$，$OC// AB$，
∴四边形OABC是平行四边形，
又
∵$OA=OC=2$（$\odot O$的半径为2），
∴平行四边形OABC是菱形，
∴$AB=OA=2$，
又
∵$OB=OA=2$，
∴$OA=OB=AB=2$，即$△ OAB$是等边三角形，
∴$∠ DOB=60°$，
在$Rt△ OBD$中，$∠ D=90°-60°=30°$，
∴$OD=2OB=4$，
由勾股定理得：$BD=\sqrt{OD^2-OB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；菱形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与四边形、三角形的综合题，解题的突破口是连接切点与圆心构造直角三角形，再通过判定特殊四边形得到等边三角形，进而得到特殊角，结合直角三角形的性质计算线段长度，是圆类计算题的常见题型。
【难度系数】
0.7