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例题解析
例1 化简$\sqrt{(x-1)^2} - 2x$.
解:由于没有给定$x$的取值范围,因此应分情况研究:
当$x ≥ 1$时, 原式$= |x-1| -2x = x-1 -2x = -x -1$;
当$x ＜ 1$时, 原式$= |x-1| -2x = -(x-1) -2x = -x +1 -2x = -3x +1$.
评析:化简形如$\sqrt{a^2}$的二次根式时,要注意$a$的取值范围.当$a$的取值范围不确定时,应分情况处理.为了避免出错,化简时可使用过渡步骤,即$\sqrt{a^2} = |a|$.
例2 已知最简二次根式$\sqrt{2a-6}$和$\sqrt{10-2a}$是同类二次根式,求$a$的值.
解:因为根式$\sqrt{2a-6}$和$\sqrt{10-2a}$都是最简二次根式,且又是同类二次根式,所以
$2a -6 = 10 -2a$. 解这个方程,得$a =4$.
思考:如果$\sqrt{2a-6}$和$\sqrt{10-2a}$是同类二次根式,那么$a$的取值情况如何?
例1 化简$\sqrt{(x-1)^2} - 2x$.
解:由于没有给定$x$的取值范围,因此应分情况研究:
当$x ≥ 1$时, 原式$= |x-1| -2x = x-1 -2x = -x -1$;
当$x ＜ 1$时, 原式$= |x-1| -2x = -(x-1) -2x = -x +1 -2x = -3x +1$.
评析:化简形如$\sqrt{a^2}$的二次根式时,要注意$a$的取值范围.当$a$的取值范围不确定时,应分情况处理.为了避免出错,化简时可使用过渡步骤,即$\sqrt{a^2} = |a|$.
例2 已知最简二次根式$\sqrt{2a-6}$和$\sqrt{10-2a}$是同类二次根式,求$a$的值.
解:因为根式$\sqrt{2a-6}$和$\sqrt{10-2a}$都是最简二次根式,且又是同类二次根式,所以
$2a -6 = 10 -2a$. 解这个方程,得$a =4$.
思考:如果$\sqrt{2a-6}$和$\sqrt{10-2a}$是同类二次根式,那么$a$的取值情况如何?
答案
解：由二次根式有意义的条件，得
$\begin{cases}2a - 6 ≥ 0 \\10 - 2a ≥ 0\end{cases}$
解得 $3 ≤ a ≤ 5$。
因为$\sqrt{2a-6}$和$\sqrt{10-2a}$是同类二次根式，即两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同。设化简后相同的被开方数为$m$（$m$为不含平方因子的正整数），则存在正整数$k,l$，使得：
$2a - 6 = k^2 m$，$10 - 2a = l^2 m$
将两式相加，得：
$m(k^2 + l^2) = 4$
由于$m$是不含平方因子的正整数，$k,l$是正整数，因此仅当$m=2$，$k=l=1$时等式成立，代入得$2a-6=2$，解得$a=4$，符合$3≤ a≤5$。
所以$a$的值为4。
$\begin{cases}2a - 6 ≥ 0 \\10 - 2a ≥ 0\end{cases}$
解得 $3 ≤ a ≤ 5$。
因为$\sqrt{2a-6}$和$\sqrt{10-2a}$是同类二次根式，即两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同。设化简后相同的被开方数为$m$（$m$为不含平方因子的正整数），则存在正整数$k,l$，使得：
$2a - 6 = k^2 m$，$10 - 2a = l^2 m$
将两式相加，得：
$m(k^2 + l^2) = 4$
由于$m$是不含平方因子的正整数，$k,l$是正整数，因此仅当$m=2$，$k=l=1$时等式成立，代入得$2a-6=2$，解得$a=4$，符合$3≤ a≤5$。
所以$a$的值为4。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数非负，因此第一步要列不等式组求出a的初步取值范围；其次回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式。由于本题未明确给出两个根式是最简二次根式，因此可设两个根式化简后相同的被开方数为不含平方因子的正整数m，再根据两个被开方数的和为定值，通过分类讨论正整数的可能取值，最终求出符合范围的a的值即可。
【解析】
解：首先根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}2a - 6 ≥ 0 \\10 - 2a ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式得$a≥3$，解第二个不等式得$a≤5$，因此a的初步取值范围为$3 ≤ a ≤ 5$。
根据同类二次根式的定义，设两个根式化简后相同的被开方数为$m$（$m$为不含平方因子的正整数），则存在正整数$k,l$，使得：
$2a - 6 = k^2 m$，$10 - 2a = l^2 m$
将两式左右分别相加，化简可得：$m(k^2 + l^2) = 4$
结合$m$是不含平方因子的正整数、$k,l$是正整数的条件分类讨论：
①若$m=1$，则$k^2 + l^2=4$，无符合条件的正整数$k,l$；
②若$m=2$，则$k^2 + l^2=2$，正整数$k=l=1$满足条件；
③若$m≥3$，则$k^2 + l^2≤\frac{4}{3}$，无符合条件的正整数$k,l$。
因此仅$m=2,k=l=1$成立，代入$2a-6=k^2 m$得$2a-6=2$，解得$a=4$，符合$3≤a≤5$的取值范围。
【答案】
a的值为4
【知识点】
二次根式有意义的条件；同类二次根式的定义；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题考查二次根式的相关概念应用，解题时需先确定二次根式有意义的隐含取值范围，再结合同类二次根式的定义分析，避免出现无意义的错误解，同时要掌握用分类讨论思想分析正整数取值的方法。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数非负，因此第一步要列不等式组求出a的初步取值范围；其次回忆同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式。由于本题未明确给出两个根式是最简二次根式，因此可设两个根式化简后相同的被开方数为不含平方因子的正整数m，再根据两个被开方数的和为定值，通过分类讨论正整数的可能取值，最终求出符合范围的a的值即可。
【解析】
解：首先根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得不等式组：
$\begin{cases}2a - 6 ≥ 0 \\10 - 2a ≥ 0\end{cases}$
解第一个不等式得$a≥3$，解第二个不等式得$a≤5$，因此a的初步取值范围为$3 ≤ a ≤ 5$。
根据同类二次根式的定义，设两个根式化简后相同的被开方数为$m$（$m$为不含平方因子的正整数），则存在正整数$k,l$，使得：
$2a - 6 = k^2 m$，$10 - 2a = l^2 m$
将两式左右分别相加，化简可得：$m(k^2 + l^2) = 4$
结合$m$是不含平方因子的正整数、$k,l$是正整数的条件分类讨论：
①若$m=1$，则$k^2 + l^2=4$，无符合条件的正整数$k,l$；
②若$m=2$，则$k^2 + l^2=2$，正整数$k=l=1$满足条件；
③若$m≥3$，则$k^2 + l^2≤\frac{4}{3}$，无符合条件的正整数$k,l$。
因此仅$m=2,k=l=1$成立，代入$2a-6=k^2 m$得$2a-6=2$，解得$a=4$，符合$3≤a≤5$的取值范围。
【答案】
a的值为4
【知识点】
二次根式有意义的条件；同类二次根式的定义；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题考查二次根式的相关概念应用，解题时需先确定二次根式有意义的隐含取值范围，再结合同类二次根式的定义分析，避免出现无意义的错误解，同时要掌握用分类讨论思想分析正整数取值的方法。
【难度系数】
0.6
