典例1 计算：
(1)$m^{22} ÷ m^2$；
(2)$(-ab)^7 ÷ (-ab)^3$；
(3)$(-z - y)^4 ÷ (z + y)^3$。

1. $m^{22} ÷ m^2 = m^{22-2} = m^{20}$
2. $(-ab)^7 ÷ (-ab)^3 = (-ab)^{7-3} = (-ab)^4 = a^4b^4$
3. $(-z-y)^4 ÷ (z+y)^3 = (z+y)^4 ÷ (z+y)^3 = z+y$

【分析】
这三道题均考查同底数幂的除法相关运算，解题思路如下：首先回忆同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，适用前提是底数相同、底数不为0。第(1)题底数均为m，可直接套用法则计算；第(2)题可把$(-ab)$看作整体作为公共底数，先用法则计算，再根据积的乘方规则化简，注意负数的偶次幂为正；第(3)题底数不同，先将$(-z-y)$变形为$-(z+y)$，利用偶次幂的性质消去负号，统一底数为$(z+y)$后再套用法则计算。
【解析】
(1) 直接运用同底数幂的除法法则计算：
$m^{22} ÷ m^2 = m^{22-2} = m^{20}$
(2) 将$(-ab)$看作整体运算，再化简积的乘方：
$(-ab)^7 ÷ (-ab)^3 = (-ab)^{7-3} = (-ab)^4 = (-1)^4· a^4· b^4 = a^4b^4$
(3) 先统一底数，再运用同底数幂的除法法则计算：
$(-z-y)^4=[-(z+y)]^4=(z+y)^4$，因此
$(-z - y)^4 ÷ (z + y)^3 = (z+y)^4 ÷ (z+y)^3 = (z+y)^{4-3} = z+y$
【答案】
1. $m^{20}$
2. $a^4b^4$
3. $z+y$
【知识点】
同底数幂的除法，积的乘方运算，偶次幂的性质
【点评】
本题是幂的运算的基础题型，解题核心是准确识别底数，底数不同时要先通过变形统一底数，运算过程中要注意符号的处理，合理运用整体思想可以简化运算。
【难度系数】
0.8

举一反三 若$x^a = 2, x^b = 3$，则$x^{3a - b}$的值是().

A.1
B.−1
C.$\frac{8}{3}$
D.6

C

【分析】
解题时首先观察所求代数式的指数特征：指数为$3a-b$，可联想到同底数幂的除法逆运算法则$x^{m-n}=x^m÷ x^n$，将原式拆分为$x^{3a}÷ x^b$；再观察$x^{3a}$的指数$3a$，可联想到幂的乘方逆运算法则$x^{mn}=(x^m)^n$，将$x^{3a}$转化为$(x^a)^3$，此时拆分后的式子全部可以用已知的$x^a$、$x^b$的值代入计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逆用计算：
1. 由同底数幂除法的逆运算可得：$x^{3a - b} = x^{3a} ÷ x^b$
2. 由幂的乘方的逆运算可得：$x^{3a} = (x^a)^3$
3. 将$x^a = 2, x^b = 3$代入上式：
原式$=(x^a)^3 ÷ x^b = 2^3 ÷ 3 = 8 ÷ 3 = \frac{8}{3}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的除法、幂的乘方
【点评】
本题属于幂的运算的基础应用题型，解题核心是熟练掌握幂的运算公式并能灵活逆用公式，将待求式转化为含已知条件的形式后代入计算即可，注意不要混淆不同幂运算的指数变化规则。
【难度系数】
0.8

典例2 若$(2x-1)^0$有意义，则$x$的取值范围是().

A.$x=-2$
B.$x≠0$
C.$x≠\frac{1}{2}$
D.$x=\frac{1}{2}$

答案 C
解析 $(2x-1)^0$有意义，则$2x-1≠0$，解得$x≠\frac{1}{2}$. 故选 C.

【分析】
要解决这道题，首先需要明确零指数幂有意义的前提条件：任何非零数的0次幂等于1，当底数为0时，0的0次幂没有意义。因此本题只需让零指数幂的底数不等于0，列出关于x的不等式，解不等式就能得到x的取值范围，再对应选项选择即可。
【解析】
根据零指数幂有意义的条件，底数不能为0，可得：
$2x-1≠0$
移项得$2x≠1$，
两边同时除以2，解得$x≠\frac{1}{2}$。
因此符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
零指数幂的意义，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是牢记零指数幂的底数不能为0的要求，只要掌握这个知识点就能快速解题，常见易错点是忘记对底数的限制条件导致选错。
【难度系数】
0.8

举一反三 计算：$(-2)^3 - (π - 3.14)^0 =$ .

-9

【分析】
本题为有理数混合运算题，解题需分三步思考：首先明确运算顺序，本题没有更高优先级的运算，先分别计算乘方和零指数幂两个部分，再做减法运算。第一步计算$(-2)^3$，依据负数的奇次幂为负的规则算出结果；第二步计算$(π-3.14)^0$，先判断底数$π-3.14$不为0，再根据非零数的零次幂等于1的性质得出结果；最后将两个结果相减即可得到最终答案。
【解析】
解：按照运算顺序分步计算：
1. 计算乘方项：$(-2)^3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8$
2. 计算零指数幂：$\because π \approx 3.14159 ＞ 3.14$，$\therefore π - 3.14 ≠ 0$，根据零指数幂的性质可得$(π-3.14)^0 = 1$
3. 计算最终结果：$(-2)^3 - (π - 3.14)^0 = -8 - 1 = -9$
【答案】
-9
【知识点】
有理数乘方、零指数幂、有理数减法
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查乘方运算的符号规则和零指数幂的性质，解题时要注意区分负数的奇偶次幂的符号差异，牢记零指数幂的底数不能为0，避免因混淆运算性质、看错符号出现计算错误。
【难度系数】
0.8

典例3 计算：
(1) $(14x^4 y^3) ÷ (7x^3 y)$；
(2) $(2x^2 y)^3 · (-7xy^2) ÷ (14x^4 y^3)$；
(3) $( \frac{2}{5} y^3 - 7xy^2 + \frac{2}{3} y^5 ) ÷ ( \frac{2}{3} y^2 )$。
规律方法 (1)多项式除以单项式实质是转化为单项式除以单项式，在计算时多项式里的各项包括它前面的符号；
(2)多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项；
(3)多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验。

1. $(14x^4y^3) ÷ (7x^3y) = (14 ÷ 7)x^{4-3}y^{3-1} = 2xy^2.$
2. $(2x^2y)^3 · (-7xy^2) ÷ (14x^4y^3) = 8x^6y^3 · (-7xy^2) ÷ (14x^4y^3) = (-56x^7y^5) ÷ (14x^4y^3) = -4x^3y^2.$
3. $( \frac{2}{5}y^3 - 7xy^2 + \frac{2}{3}y^5 ) ÷ ( \frac{2}{3}y^2 ) = ( \frac{2}{5}y^3 ) ÷ ( \frac{2}{3}y^2 ) - (7xy^2) ÷ ( \frac{2}{3}y^2 ) + ( \frac{2}{3}y^5 ) ÷ ( \frac{2}{3}y^2 ) = \frac{3}{5}y - \frac{21}{2}x + y^3.$

【分析】
本题考查整式的乘除运算，解题思路如下：
(1) 单项式除以单项式：分别将系数、同底数幂相除作为商的因式，同底数幂相除遵循底数不变、指数相减的规则；
(2) 整式乘除混合运算：先算积的乘方（积的乘方等于各因式分别乘方再相乘），再按从左到右的顺序计算单项式乘法，最后计算单项式除法，运算过程中注意符号和指数的计算；
(3) 多项式除以单项式：转化为多个单项式除以单项式的和，即将多项式的每一项（包含前面的符号）分别除以单项式，再把所有商相加，注意不要漏项，分数除法要转化为乘法计算。
【解析】
(1) 单项式除以单项式，系数、同底数幂分别相除：
$(14x^4y^3) ÷ (7x^3y) = (14 ÷ 7)x^{4-3}y^{3-1} = 2xy^2$
(2) 先算乘方，再算乘法，最后算除法：
$(2x^2y)^3 · (-7xy^2) ÷ (14x^4y^3) = 8x^6y^3 · (-7xy^2) ÷ (14x^4y^3) = (-56x^7y^5) ÷ (14x^4y^3) = -4x^3y^2$
(3) 多项式各项分别除以单项式，再合并商：
$( \frac{2}{5}y^3 - 7xy^2 + \frac{2}{3}y^5 ) ÷ ( \frac{2}{3}y^2 ) = ( \frac{2}{5}y^3 ) ÷ ( \frac{2}{3}y^2 ) - (7xy^2) ÷ ( \frac{2}{3}y^2 ) + ( \frac{2}{3}y^5 ) ÷ ( \frac{2}{3}y^2 ) = \frac{3}{5}y - \frac{21}{2}x + y^3$
【答案】
(1) $2xy^2$；(2) $-4x^3y^2$；(3) $\frac{3}{5}y - \frac{21}{2}x + y^3$
【知识点】
单项式除以单项式；整式乘除混合运算；多项式除以单项式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心是熟练掌握各类整式运算法则。运算时需注意：严格遵循先乘方、再乘除的运算顺序；关注每一项的符号，避免符号错误；多项式除以单项式时不要漏项，分数类系数运算要仔细，计算后可通过逆运算检验结果。
【难度系数】
0.75

举一反三 计算：
(1)$(6a^{3}b - 9a^{2}c) ÷ (3a^{2})$；
(2)$(4a^{3} - 6a^{2} + 9a) ÷ (-2a)$；
(3)$(x^{2}y - \frac{1}{2}xy^{2} - 2xy) ÷ (\frac{1}{2}xy)$。

1. $(6a^3b - 9a^2c) ÷ (3a^2) = 2ab - 3c.$
2. $(4a^3 - 6a^2 + 9a) ÷ (-2a) = -2a^2 + 3a - \frac{9}{2}.$
3. $(x^2y - \frac{1}{2}xy^2 - 2xy) ÷ (\frac{1}{2}xy) = 2x - y - 4.$

【分析】
这三道题均考查多项式除以单项式的运算，解题思路如下：第一步回忆多项式除以单项式的运算法则：先将多项式的每一项分别除以单项式，再把所有的商相加；第二步计算每一项的除法时，系数与系数相除，同底数幂按照“底数不变，指数相减”的规则运算，单独的字母直接保留在商里；第三步特别注意除式的符号，若除式带负号，每一项除以除式时都要注意变号，若除式是分数，可以转化为乘以它的倒数计算更简便。
【解析】
(1) 先将多项式拆分为两项分别除以$3a^2$：
$\begin{aligned}(6a^{3}b - 9a^{2}c) ÷ 3a^{2}&=6a^3b÷3a^2 - 9a^2c÷3a^2\\&=(6÷3)a^{3-2}b - (9÷3)a^{2-2}c\\&=2ab - 3c\end{aligned}$
(2) 将多项式的三项分别除以$-2a$，注意符号变化：
$\begin{aligned}(4a^{3} - 6a^{2} + 9a) ÷ (-2a)&=4a^3÷(-2a) + (-6a^2)÷(-2a) + 9a÷(-2a)\\&=(4÷(-2))a^{3-1} + [(-6)÷(-2)]a^{2-1} + (9÷(-2))a^{1-1}\\&=-2a^2 + 3a - \frac{9}{2}\end{aligned}$
(3) 将多项式的三项分别除以$\frac{1}{2}xy$，除以分数转化为乘以倒数计算：
$\begin{aligned}(x^{2}y - \frac{1}{2}xy^{2} - 2xy) ÷ \frac{1}{2}xy&=x^2y÷\frac{1}{2}xy + (-\frac{1}{2}xy^2)÷\frac{1}{2}xy + (-2xy)÷\frac{1}{2}xy\\&=(1÷\frac{1}{2})x^{2-1}y^{1-1} + (-\frac{1}{2}÷\frac{1}{2})x^{1-1}y^{2-1} + (-2÷\frac{1}{2})x^{1-1}y^{1-1}\\&=2x - y - 4\end{aligned}$
【答案】
(1) $2ab - 3c$；(2) $-2a^2 + 3a - \frac{9}{2}$；(3) $2x - y - 4$
【知识点】
多项式除以单项式；同底数幂的除法；整式运算
【点评】
本题属于整式除法的基础题型，核心是掌握多项式除以单项式的拆分计算方法，计算过程中要重点关注符号处理和系数的运算，尤其是除式为负数或分数时，要仔细计算避免失误。
【难度系数】
0.8