【例2】某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程.这个工程由甲队单独做需要10天完成，由乙队单独做需要15天完成.若甲、乙两队共同施工4天，余下的工程由乙队单独完成，问：乙队还需要几天才能完成？
解：
【规律方法】
解决工程问题的基本思路
(1)按做工的顺序列方程，即“开始完成的工作量＋后来完成的工作量＝完成的总工作量”.
(2)按做工的“人”列方程(设一项工程只有甲和乙做)，即“甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量”.

例2 解: 乙队还需要 5 天才能完成.

【分析】
本题属于工程类应用题，解题时首先将总工作量看作单位“1”，根据“工作效率=总工作量÷单独完成的工作时间”分别求出甲、乙两队的工作效率；再根据等量关系“甲乙两队共同施工4天的工作量+乙队单独完成剩余工作量的工作量=总工作量1”，设未知数列方程求解即可得到乙队还需要的工作时间。
【解析】
设乙队还需要$ x $天才能完成全部工程。
把总工作量看作单位“1”，则甲队的工作效率为$ \frac{1}{10} $，乙队的工作效率为$ \frac{1}{15} $。
根据题意可列方程：
$ 4×(\frac{1}{10}+\frac{1}{15}) + \frac{1}{15}x = 1 $
先计算括号内的部分：$ \frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{3+2}{30}=\frac{1}{6} $
代入方程得：$ 4×\frac{1}{6} + \frac{x}{15} = 1 $
化简得：$ \frac{2}{3} + \frac{x}{15} = 1 $
移项得：$ \frac{x}{15} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} $
解得：$ x = \frac{1}{3}×15 = 5 $
【答案】
乙队还需要5天才能完成。
【知识点】
工程问题求解；一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的常规基础题型，核心考察工作总量、工作效率、工作时间三者之间的数量关系，解题关键是找准总工作量的等量关系，掌握该类题的解题思路后即可轻松作答。
【难度系数】
0.8

变式训练
2.某地修建一条长为400 m的公路，由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70 m.已知甲工程队每天比乙工程队多施工5 m，求甲、乙两工程队每天各施工多少米.
知识建构

2. 甲工程队每天施工 35 m，乙工程队每天施工 30 m.

【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，核心公式为“工作总量=工作效率×工作时间”。解题思路如下：首先根据“甲工程队每天比乙工程队多施工5m”的条件，可设其中一个工程队的日施工量为未知数，用含未知数的式子表示另一个队的日施工量；接着理清两队的施工时长：甲共施工$2+4=6$天，乙共施工4天；再找到等量关系：甲完成的工作量+乙完成的工作量=总长度-剩余长度，据此列方程求解，最后检验结果是否符合题意即可。
【解析】
解：设乙工程队每天施工$x$ m，则甲工程队每天施工$(x+5)$ m。
已施工的公路长度为：$400-70=330\ \mathrm{m}$
根据题意列方程：
$6(x+5) + 4x = 330$
去括号得：$6x + 30 + 4x = 330$
合并同类项得：$10x + 30 = 330$
移项得：$10x = 300$
系数化为1得：$x=30$
则甲工程队每天施工长度为：$x+5=30+5=35\ \mathrm{m}$
检验：甲6天共施工$35×6=210\ \mathrm{m}$，乙4天共施工$30×4=120\ \mathrm{m}$，总施工长度$210+120=330\ \mathrm{m}$，与$400-70=330\ \mathrm{m}$一致，结果符合题意。
【答案】
甲工程队每天施工 35 m，乙工程队每天施工 30 m。
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础的一元一次方程实际应用题型，解题关键是梳理清楚各施工队的工作时间、工作效率，找准工作量的等量关系，这类题型是后续学习更复杂实际应用问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

综合与实践——知识建构与应用
利用纸条粘贴长方形
手工课上,小云和小悦剪了很多长方形的小纸条,她俩把小纸条粘成长方形.
【知识准备】
(1)长方形的面积=.
(2)解一元一次方程的步骤:去分母、、移项、合并、系数.
【黏合纸条】
已知剪下的小纸条长30 cm,宽10 cm,两人采用不同的黏合方法.小云把小纸条的宽边黏合起来,黏合长度为6 cm,得到如图①(示意图,单位:cm)所示的大长方形;小悦把小纸条的长边黏合起来,黏合长度为4 cm,得到如图②(示意图,单位:cm)所示的大长方形.

按照小云的黏合方法,黏合a张小纸条,得到大长方形的面积为.
【拓展探究】
如果共有100张这种小纸条,那么小云、小悦各需要多少张小纸条,才能使得两人按各自的方法黏合起来的大长方形的面积相等?(100张小纸条要全部用完)

(1) 长×宽
(2) 去括号 同类项 化为 1
黏合纸条：(240a+60)cm².
拓展探究：小云需要 43 张小纸条，小悦需要 57 张小纸条，才能使得两人按各自的方法黏合起来的大长方形的面积相等.

【分析】
1. 知识准备部分：（1）直接调用长方形面积的基础概念即可作答；（2）回忆解一元一次方程的标准流程，按顺序填写对应步骤即可。
2. 黏合纸条部分：先明确小云黏合方式的特征：宽边黏合时大长方形的宽等于小纸条的宽10cm；a张纸条黏合会产生(a-1)个重叠处，每个重叠处减少总长度6cm，先算出大长方形的总长度，再用面积公式计算即可。
3. 拓展探究部分：设小云用x张纸条，小悦就用(100-x)张，先推导小悦黏合的大长方形面积表达式，再根据“两个大长方形面积相等”的等量关系列一元一次方程，按解方程步骤求解即可。
【解析】
知识准备
(1) 根据长方形的基本性质，长方形的面积=长×宽。
(2) 解一元一次方程的标准步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
黏合纸条
a张小纸条黏合时，共有(a-1)个黏合处，每个黏合处重叠长度为6cm，因此大长方形的长为：
$30a - 6(a-1)=24a+6$（cm）
已知大长方形的宽为10cm，因此面积为：
$10×(24a+6)=240a+60$（$\mathrm{cm^2}$）
拓展探究
设小云需要$x$张小纸条，则小悦需要$(100-x)$张小纸条。
小悦长边黏合时，大长方形的宽为30cm，$(100-x)$张纸条共有$(100-x-1)$个黏合处，每个黏合处重叠4cm，因此大长方形的长为：
$10(100-x)-4(100-x-1)=604-6x$（cm）
小悦黏合的大长方形面积为：
$30×(604-6x)=18120-180x$（$\mathrm{cm^2}$）
根据面积相等列方程：
$240x+60=18120-180x$
移项得：$240x+180x=18120-60$
合并同类项得：$420x=18060$
系数化为1得：$x=43$
则小悦需要的纸条数量为$100-43=57$（张）。
【答案】
(1) 长×宽
(2) 去括号；同类项；化为 1
黏合纸条：$(240a+60)\mathrm{cm^2}$
拓展探究：小云需要 43 张小纸条，小悦需要 57 张小纸条，才能使得两人按各自的方法黏合起来的大长方形的面积相等。
【知识点】
长方形面积计算；一元一次方程的解法；一元一次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的手工场景，既考查了基础概念的记忆，又考查了分析实际问题、找等量关系列方程解决问题的能力，解题的核心是准确计算黏合重叠后大长方形的总长度。
【难度系数】
0.65