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15. 新趋势 跨学科融合（2024·广元中考）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值$\frac{\sin α}{\sin β}$叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”。它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征。
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且$\cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}$，$β = 30°$，则该介质的折射率为
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，
，点A,B,C,D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形$A_1D_1D_2A_2$对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，，已知$α = 60°$，$CD = 10\ \mathrm{cm}$，则截面ABCD的面积为
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且$\cos α = \frac{\sqrt{7}}{4}$，$β = 30°$，则该介质的折射率为
$\frac{3}{2}$
；(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，
，点A,B,C,D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形$A_1D_1D_2A_2$对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，，已知$α = 60°$，$CD = 10\ \mathrm{cm}$，则截面ABCD的面积为$100\sqrt{2}$
$\mathrm{cm}^2$。答案
15. (1) $\frac{3}{2}$ 解析:如图,
∵ $\cos α=\frac{\sqrt{7}}{4}$,
∴ 设 $b=\sqrt{7}x$,则 $c=4x$,由勾股定理得 $a=\sqrt{(4x)^2-(\sqrt{7}x)^2}=3x$,
∴ $\sin α=\frac{a}{c}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}$.又
∵ $β=30°$,
∴ $\sin β=\sin 30°=\frac{1}{2}$,
∴ 折射率为 $\frac{\sin α}{\sin β}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}$.
(2) $100\sqrt{2}$ 解析:根据折射率与(1)中的材料相同,可得折射率为 $\frac{3}{2}$,
∵ $α=60°$,
∴ $\frac{\sin α}{\sin β}=\frac{\sin 60°}{\sin β}=\frac{3}{2}$,
∴ $\sin β=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,点 O 是 AD 中点,
∴ $AD=2OD$, $∠D=90°$.又
∵ $∠OCD=β$,
∴ $\sin∠OCD=\sin β=\frac{\sqrt{3}}{3}$.在 Rt△ODC 中,设 $OD=\sqrt{3}t$,$OC=3t$,由勾股定理得 $CD=\sqrt{(3t)^2-(\sqrt{3}t)^2}=\sqrt{6}t$,
∴ $\tan β=\frac{OD}{CD}=\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{6}t}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.又
∵ $CD=10\ \mathrm{cm}$,
∴ $\frac{OD}{10}=\frac{1}{\sqrt{2}}$,
∴ $OD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,
∴ $AD=10\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,
∴ 截面 ABCD 的面积为 $10\sqrt{2}×10=100\sqrt{2}\ (\mathrm{cm}^2)$.
16. 新趋势 项目式学习 问题提出:已知任意三角形的两边及夹角,求三角形的面积.
问题探究:为了解决上述问题,我们先由特殊到一般来进行探究.
探究一:如图①,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=b,BC=a,∠C=α,求△ABC的面积.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∴ $\sinα = \frac{AB}{AC}$,
∴ $AB = b · \sinα$.
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AB = \frac{1}{2}ab\sinα$.
探究二:如图②,在△ABC中,AB = AC = b,BC=a,∠B=α,求△ABC的面积(用含a,b,α的代数式表示),写出探究过程.
探究三:如图③,在△ABC中,AC = b,BC = a,∠C=α,求△ABC的面积(用含a,b,α的代数式表示),写出探究过程.
问题解决:已知任意三角形的两边及夹角,求三角形的面积的方法是
问题应用:如图④,已知平行四边形ABCD中,AB = b,BC = a,∠B=α,求平行四边形ABCD的面积(用含a,b,α的代数式表示),写出解题过程.
问题拓广:如图⑤所示,利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积(用含a,b,c,d,α,β的代数式表示),其中AB = b,BC = c,CD = d,AD = a,∠A=α,∠C=β.
问题探究:为了解决上述问题,我们先由特殊到一般来进行探究.
探究一:如图①,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=b,BC=a,∠C=α,求△ABC的面积.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∴ $\sinα = \frac{AB}{AC}$,
∴ $AB = b · \sinα$.
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AB = \frac{1}{2}ab\sinα$.
探究二:如图②,在△ABC中,AB = AC = b,BC=a,∠B=α,求△ABC的面积(用含a,b,α的代数式表示),写出探究过程.
探究三:如图③,在△ABC中,AC = b,BC = a,∠C=α,求△ABC的面积(用含a,b,α的代数式表示),写出探究过程.
问题解决:已知任意三角形的两边及夹角,求三角形的面积的方法是
一个三角形的两边及其夹角的正弦值的积的一半
(用文字叙述).问题应用:如图④,已知平行四边形ABCD中,AB = b,BC = a,∠B=α,求平行四边形ABCD的面积(用含a,b,α的代数式表示),写出解题过程.
问题拓广:如图⑤所示,利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积(用含a,b,c,d,α,β的代数式表示),其中AB = b,BC = c,CD = d,AD = a,∠A=α,∠C=β.
答案
16. 探究二:在题图②中,作 $AH ⊥ CB$ 于点 H.
∵ $AB=AC=b$,$BC=a$,$∠B=α$,
∴ $∠B=∠C=α$.在 Rt△AHC 中,$∠AHC=90°$,
∴ $\sin α=\frac{AH}{AC}$,
∴ $AH=b · \sin α$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AH=\frac{1}{2}ab\sin α$.
探究三:在题图③中,作 $AH ⊥ CB$ 于点 H.在 Rt△AHC 中,$∠AHC=90°$,
∴ $\sin α=\frac{AH}{AC}$,
∴ $AH=b · \sin α$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AH=\frac{1}{2}ab\sin α$.
问题解决:一个三角形的两边及其夹角的正弦值的积的一半
问题应用:在题图④中,作 $AH ⊥ CB$ 于点 H.在 Rt△AHB 中,$∠AHB=90°$,
∴ $\sin α=\frac{AH}{AB}$,
∴ $AH=b · \sin α$,
∴ $S_{平行四边形ABCD}=BC · AH=ab\sin α$.
问题拓广:在题图⑤中,连接 BD,由探究三的结论可得 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD×\sin α=\frac{1}{2}ab\sin α$,$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×CD×\sin β=\frac{1}{2}cd\sin β$,
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}ab\sin α+\frac{1}{2}cd\sin β$.
∵ $AB=AC=b$,$BC=a$,$∠B=α$,
∴ $∠B=∠C=α$.在 Rt△AHC 中,$∠AHC=90°$,
∴ $\sin α=\frac{AH}{AC}$,
∴ $AH=b · \sin α$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AH=\frac{1}{2}ab\sin α$.
探究三:在题图③中,作 $AH ⊥ CB$ 于点 H.在 Rt△AHC 中,$∠AHC=90°$,
∴ $\sin α=\frac{AH}{AC}$,
∴ $AH=b · \sin α$,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC · AH=\frac{1}{2}ab\sin α$.
问题解决:一个三角形的两边及其夹角的正弦值的积的一半
问题应用:在题图④中,作 $AH ⊥ CB$ 于点 H.在 Rt△AHB 中,$∠AHB=90°$,
∴ $\sin α=\frac{AH}{AB}$,
∴ $AH=b · \sin α$,
∴ $S_{平行四边形ABCD}=BC · AH=ab\sin α$.
问题拓广:在题图⑤中,连接 BD,由探究三的结论可得 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD×\sin α=\frac{1}{2}ab\sin α$,$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×CD×\sin β=\frac{1}{2}cd\sin β$,
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}ab\sin α+\frac{1}{2}cd\sin β$.
