例 1 如图 1.5.5,$\triangle ABC$ 是等边三角形,$BC\perp CD$,垂足为 $C$,且 $AC = CD$,则 $\angle BAD$ 的度数为( )

A.$50^{\circ}$

B.$45^{\circ}$
C.$40^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

B

例 2 填空：
(1)如图 1.5.6,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 15^{\circ}$,$AB$ 的垂直平分线交 $BC$ 于 $D$,交 $AB$ 于 $E$,若 $DB = 10\mathrm{cm}$,则 $AC$ 的长为______$\mathrm{cm}$.

(2)有下列四个说法：① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有两个角等于 $60^{\circ}$ 的三角形是等边三角形；③ 有一个角是 $60^{\circ}$ 的等腰三角形是等边三角形；④ 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.其中不正确的是______.(填序号)

5
④

例 3 如图 1.5.7,$\triangle ABC$ 是等边三角形,点 $D$,$E$,$F$ 分别在线段 $AB$,$BC$,$CA$ 上.
(1)若 $AD = BE = CF$,$\triangle DEF$ 是等边三角形吗？试证明你的结论.
(2)若 $\triangle DEF$ 是等边三角形,$AD = BE = CF$ 成立吗？试证明你的结论.

解：​(1)∆DEF ​是等边三角形，证明如下：
∵​∆ABC​是等边三角形，
∴​AB=BC=CA，​​∠A=∠B=∠C=60°​
∵​AD=BE=CF​
∴​AB-AD=BC-BE=CA-CF，​即​DB=EC=F A​
​ ​在​∆BED​和​∆CFE​中
$​ \begin {cases}{BE=CF}\\{∠B=∠C}\\{BD=CE}\end {cases}​$
∴​∆BED≌∆CFE(S AS)​
同理可得​△ADF≌△BED​
∴​DF=ED=FE，​∴​∆DEF ​是等边三角形
​ (2)AD=BE=CF ​一定成立
∵​△ABC、​​△DEF ​是等边三角形
∴​∠A=∠B=∠C=60°，​​∠DFE=∠FDE=∠DEF=60°​
​AB=BC=AC，​​DF=DE=EF​
∵​∠AFD+∠CFE=120°，​​∠ADF+∠AFD=120°​
∴​∠CFE=∠ADF​
在​△ADF ​和​△CFE​中
$​\begin {cases}{∠A=∠C}\\{∠ADF=∠CFE}\\{DF=FE}\end {cases}​$
∴$​△ADF≌△CFE(\mathrm {AAS})​$
同理可得​△ADF≌△BED​
∴​AD=CF=BE​