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1. 如图所示,厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC= 10 m.若∠B= 30°,则中柱AD(D为底边中点)的长是
5√3/3
m.答案
解：∵△ABC是等腰三角形，BC=10m，D为底边中点，
∴BD=BC/2=5m，AD⊥BC。
在Rt△ABD中，∠B=30°，
tan∠B=AD/BD，
即tan30°=AD/5，
AD=5×tan30°=5×(√3/3)=5√3/3。
5√3/3
∴BD=BC/2=5m，AD⊥BC。
在Rt△ABD中，∠B=30°，
tan∠B=AD/BD，
即tan30°=AD/5，
AD=5×tan30°=5×(√3/3)=5√3/3。
5√3/3
2. 如图所示,数学课外活动小组成员在老师的带领下在河边测量河宽AB(这段河流的两岸平行).他们在点C处测得∠ACB= 30°,在点D处测得∠ADB= 60°.若CD= 80 m,则河宽AB约为
69
m(结果保留整数,$\sqrt{3}\approx1.73$).答案
【解析】：本题主要考查解直角三角形的应用。
由于$\angle ACB=30^\circ$，$\angle ADB=60^\circ$，
根据三角形内角和为$180^\circ$以及补角性质，
可得：$\angle CAD=\angle ADB-\angle ACB=60^\circ-30^\circ=30^\circ$。
所以$\triangle ADC$是等腰三角形，
因此$AD = CD = 80m$。
在$Rt\triangle ADB$中，利用正弦函数定义，有：
$\sin\angle ADB=\frac{AB}{AD}$，
代入已知值，可得：
$AB=AD×\sin\angle ADB=80×\sin60^\circ=80×\frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}\approx40×1.73=69.2\approx69$（m）。
【答案】：$69$。
由于$\angle ACB=30^\circ$，$\angle ADB=60^\circ$，
根据三角形内角和为$180^\circ$以及补角性质，
可得：$\angle CAD=\angle ADB-\angle ACB=60^\circ-30^\circ=30^\circ$。
所以$\triangle ADC$是等腰三角形，
因此$AD = CD = 80m$。
在$Rt\triangle ADB$中，利用正弦函数定义，有：
$\sin\angle ADB=\frac{AB}{AD}$，
代入已知值，可得：
$AB=AD×\sin\angle ADB=80×\sin60^\circ=80×\frac{\sqrt{3}}{2}=40\sqrt{3}\approx40×1.73=69.2\approx69$（m）。
【答案】：$69$。
3. 如图所示,线段AB,CD分别表示甲、乙两幢楼的高,AB⊥BD,CD⊥BD,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角$\alpha=30^{\circ}$,测得乙楼底部D的俯角$\beta=60^{\circ}$.已知甲楼高AB= 24 m,求乙楼CD的高.
答案
【解析】：
本题主要考查解直角三角形的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来求解未知边长，涉及到仰角和俯角的概念。
先在$Rt\triangle ABD$中，根据俯角$\beta$和甲楼高$AB$求出$BD$的长度。
再在$Rt\triangle ACE$中（过$A$作$AE\perp CD$交$CD$于$E$），利用仰角$\alpha$和$AE$（$AE = BD$）求出$CE$的长度，最后根据$CD = CE + DE$（$DE = AB$）求出乙楼$CD$的高。
【答案】：
解：过点$A$作$AE\perp CD$于点$E$。
因为$AB\perp BD$，$CD\perp BD$，$AE\perp CD$，所以四边形$ABDE$是矩形，则$DE = AB = 24m$，$AE = BD$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\tan\beta=\frac{AB}{BD}$，已知$\beta = 60^{\circ}$，$AB = 24m$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$BD=\frac{AB}{\tan\beta}=\frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}m$，则$AE = BD = 8\sqrt{3}m$。
在$Rt\triangle ACE$中，$\tan\alpha=\frac{CE}{AE}$，已知$\alpha = 30^{\circ}$，$AE = 8\sqrt{3}m$，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$CE = AE×\tan\alpha = 8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}= 8m$。
$CD = CE + DE = 8 + 24 = 32m$。
答：乙楼$CD$的高为$32m$。
本题主要考查解直角三角形的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来求解未知边长，涉及到仰角和俯角的概念。
先在$Rt\triangle ABD$中，根据俯角$\beta$和甲楼高$AB$求出$BD$的长度。
再在$Rt\triangle ACE$中（过$A$作$AE\perp CD$交$CD$于$E$），利用仰角$\alpha$和$AE$（$AE = BD$）求出$CE$的长度，最后根据$CD = CE + DE$（$DE = AB$）求出乙楼$CD$的高。
【答案】：
解：过点$A$作$AE\perp CD$于点$E$。
因为$AB\perp BD$，$CD\perp BD$，$AE\perp CD$，所以四边形$ABDE$是矩形，则$DE = AB = 24m$，$AE = BD$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\tan\beta=\frac{AB}{BD}$，已知$\beta = 60^{\circ}$，$AB = 24m$，$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$BD=\frac{AB}{\tan\beta}=\frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}m$，则$AE = BD = 8\sqrt{3}m$。
在$Rt\triangle ACE$中，$\tan\alpha=\frac{CE}{AE}$，已知$\alpha = 30^{\circ}$，$AE = 8\sqrt{3}m$，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$CE = AE×\tan\alpha = 8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}= 8m$。
$CD = CE + DE = 8 + 24 = 32m$。
答：乙楼$CD$的高为$32m$。
4. 下图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°.由光源O射出的边缘光线OC,OB与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°.求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm.参考数据：$\sin75^{\circ}\approx0.97$,$\cos75^{\circ}\approx0.26$,$\sqrt{3}\approx1.73$).
答案
解：过点O作OD⊥AM于点D。
在Rt△AOD中，∠OAD=75°，AO=40cm，
OD=AO·sin75°≈40×0.97=38.8cm，
AD=AO·cos75°≈40×0.26=10.4cm。
∵∠OCA=90°，OD⊥AM，
∴四边形ODCD为矩形（此处应为ODCA，修正后），
∴OC=AD=10.4cm，CD=OD=38.8cm（修正：AC=AD - CD 错误，应为AC=AD - CD不成立，正确为AC=AD - CD无依据，实际OC=OD=38.8cm，AC=AD=10.4cm）。
在Rt△OBC中，∠OBA=30°，OC=38.8cm，
tan∠OBA=OC/BC，即tan30°=38.8/BC，
BC=OC/tan30°=38.8/（√3/3）=38.8×√3≈38.8×1.73≈67.1cm。
照亮宽度BC=AC + AB（错误，应为BC=AB - AC，AB=AD + DB，DB=BC，修正后直接用Rt△OBC求BC）。
正确步骤：在Rt△OBC中，∠OBC=30°，OC=38.8cm，
BC=OC / tan30°=38.8 / (√3/3)=38.8×√3≈38.8×1.73≈67.1cm。
答：该台灯照亮水平面的宽度BC约为67.1cm。
（注：原解析中矩形判定及边长关系有误，修正后直接利用OD=OC=38.8cm，在Rt△OBC中求解BC，AC长度不影响最终BC计算，因题目求BC，OB光线与水平面交于B，OC⊥AC，故BC直接由Rt△OBC求得，无需AC参与，最终结果67.1cm正确。）
最终答案：67.1cm
在Rt△AOD中，∠OAD=75°，AO=40cm，
OD=AO·sin75°≈40×0.97=38.8cm，
AD=AO·cos75°≈40×0.26=10.4cm。
∵∠OCA=90°，OD⊥AM，
∴四边形ODCD为矩形（此处应为ODCA，修正后），
∴OC=AD=10.4cm，CD=OD=38.8cm（修正：AC=AD - CD 错误，应为AC=AD - CD不成立，正确为AC=AD - CD无依据，实际OC=OD=38.8cm，AC=AD=10.4cm）。
在Rt△OBC中，∠OBA=30°，OC=38.8cm，
tan∠OBA=OC/BC，即tan30°=38.8/BC，
BC=OC/tan30°=38.8/（√3/3）=38.8×√3≈38.8×1.73≈67.1cm。
照亮宽度BC=AC + AB（错误，应为BC=AB - AC，AB=AD + DB，DB=BC，修正后直接用Rt△OBC求BC）。
正确步骤：在Rt△OBC中，∠OBC=30°，OC=38.8cm，
BC=OC / tan30°=38.8 / (√3/3)=38.8×√3≈38.8×1.73≈67.1cm。
答：该台灯照亮水平面的宽度BC约为67.1cm。
（注：原解析中矩形判定及边长关系有误，修正后直接利用OD=OC=38.8cm，在Rt△OBC中求解BC，AC长度不影响最终BC计算，因题目求BC，OB光线与水平面交于B，OC⊥AC，故BC直接由Rt△OBC求得，无需AC参与，最终结果67.1cm正确。）
最终答案：67.1cm
