9. (★★)如图,已知轮船 A 在灯塔 P 的北偏西 $ 20^{\circ} $ 的方向上,轮船 B 在灯塔 P 的南偏东 $ 80^{\circ} $ 的方向上.
(1)求从灯塔 P 看两轮船的视角(即 $ \angle APB $)的度数；
(2)轮船 C 在 $ \angle APB $ 的平分线上,则轮船 C 在灯塔 P 的什么方向上？

解:(1)为方便说明,标记字母M,N,D如图
因为轮船A在灯塔P的北偏西20°的方向上，
轮船B在灯塔P的南偏东80°的方向上，
所以∠APM=20°，∠BPD=80°.
所以∠APB=∠APM+∠MPN+∠BPN
=20°+90°+90°-80° =120°.
(2)因为PC平分∠APB,∠APB=120°，
所以$∠APC=\frac{1}{2}∠APB=\frac{1}{2}×120°=60°.$
因为∠APM=20°,
所以∠CPM=∠APC-∠APM
=60°-20°=40°.
所以轮船C在灯塔P的北偏东40°方向上.

10. (★★)已知线段 $ AB = 10 $,C 是直线 AB 上一点,M,N 分别是线段 AC 和 BC 的中点,求线段 MN 的长度.

解:∵M是AC的中点,N是BC的中点
∴$MC=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$
∴$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
∴线段MN的长度为5.

11. (★★)已知 $ \angle AOB = 90^{\circ} $, $ \angle BOC $ 是一个锐角,OM 平分 $ \angle AOC $,ON 平分 $ \angle BOC $,求 $ \angle MON $ 的度数.

解：∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=120°.
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠MOC=60°.
∵ON平分∠BOC，
∴∠BON=∠NOC=15°，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC
=60°-15°=45°.