7. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,CD⊥AB 于点 D,E 是 BC 的中点,∠A= 55°,求∠DEC 的度数。

$\because \angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=55^{\circ}$，
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle A=35^{\circ}$。
$\because CD\perp AB$，E是BC的中点，
$\therefore DE=BE=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
$\therefore \angle BDE=\angle B=35^{\circ}$。
$\therefore \angle DEC=\angle B+\angle BDE=35^{\circ}+35^{\circ}=70^{\circ}$。

8. 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC= ∠ADC= 90°,E 为对角线 AC 的中点,连结 BE,ED,BD。若∠BAD= 58°,则∠EBD 的度数为()

A.32°
B.34°
C.36°
D.38°

A

∵∠ABC=∠ADC=90°，E为AC中点，
∴BE=AE=CE，DE=AE=CE，
∴BE=DE，∠EAB=∠EBA，∠EAD=∠EDA，
∵∠BAD=58°，
∴∠EBA+∠EDA=58°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠EBC=90°-∠EBA，∠EDC=90°-∠EDA，
∴∠EBC+∠EDC=180°-（∠EBA+∠EDA）=122°，
在四边形EBCD中，∠BCD=360°-∠EBC-∠EDC-∠BED，
在△ABC和△ADC中，∠BCD=180°-∠BAD=122°，
∴122°=360°-122°-∠BED，
解得∠BED=116°，
∵BE=DE，
∴∠EBD=（180°-∠BED）/2=32°。
A

9. 如图,已知△ABC 中,∠ACB= 90°,CD 为 AB 边上的高,∠ABC 的平分线 BE 分别交 CD,CA 于点 F,E,则下列结论正确的有()
①∠CFE= ∠CEF。②∠FCB= ∠FBC。③∠A= ∠DCB。④∠CFE 与∠CBF 互余。

A.①③④
B.②③④
C.①②④
D.①②③

A

①
∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE。
∵∠CEF=90°-∠CBE，∠DFB=90°-∠ABE，∠DFB=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE。
③
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=90°，∠DCB+∠ACD=90°，
∴∠A=∠DCB。
④
∵∠CFE=∠CEF，∠CEF+∠CBE=90°，
∴∠CFE+∠CBF=90°，即互余。
②∠FCB=∠A≠∠FBC（除非∠A=∠ABC=45°）。
结论：①③④正确。
A

10. 如图,∠AOP= ∠BOP= 15°,PC//OA,PD⊥OA 于点 D,若 PC= 4,则 PD 的长为。

2

过点P作PE⊥OB于点E。
∵PC//OA，∠AOP=15°，
∴∠CPO=∠AOP=15°。
∵∠BOP=15°，
∴∠BCP=∠BOP+∠CPO=30°。
在Rt△PCE中，∠BCP=30°，PC=4，
∴PE= $\frac{1}{2}$PC=2。
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE=2。
2

11. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,∠BAC= 20°,∠ACB 的平分线与外角∠ABD 的平分线交于点 E,连结 AE,则∠AEC= °。

35

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，则∠ABC=70°。
∠ACB的平分线CE分∠ACB为45°，即∠ACE=45°。
外角∠ABD=180°-∠ABC=110°，BE平分∠ABD，得∠ABE=∠EBD=55°。
过E作AC、BC、AB的垂线，由角平分线性质知E到AC、AB、BC距离相等，故AE平分∠BAC的外角。∠BAC外角=180°-20°=160°，则∠BAE=160°/2=80°。
在△ABE中，∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-80°-55°=45°。
在△BCE中，∠EBC=180°-∠EBD=125°，∠ECB=45°，则∠BEC=180°-125°-45°=10°。
故∠AEC=∠AEB-∠BEC=45°-10°=35°。