12. 如图,扇形 AOB 的圆心角为 90°,C,D 是弧 AB 的三等分点,半径 OC,OD 分别与弦 AB 交于点 E,F,下列说法错误的是()

A.AE= EF= FB
B.AC= CD= DB
C.EC= FD
D.∠DFB= 75°

A

设扇形半径为$r$，圆心角$\angle AOB = 90^\circ$，$C$、$D$为弧$AB$三等分点，故$\angle AOC=\angle COD=\angle DOB = 30^\circ$。
选项B：弧$AC=$弧$CD=$弧$DB$，等弧对等弦，$\therefore AC=CD=DB$，B正确。
选项C：在$\triangle OAE$与$\triangle OBF$中，$OA=OB$，$\angle OAE=\angle OBF=45^\circ$，$\angle AOE=\angle BOF=30^\circ$，$\therefore \triangle OAE\cong\triangle OBF(ASA)$，$\therefore OE=OF$，又$OC=OD$，$\therefore EC=FD$，C正确。
选项D：$\angle DFB$为$\triangle OFB$外角，$\angle DFB=\angle FOB+\angle OBF=30^\circ + 45^\circ=75^\circ$，D正确。
选项A：假设$AE=EF=FB$，设$AB=\sqrt{2}r$，则$AE=\frac{\sqrt{2}r}{3}$。在$\triangle OAE$中，由正弦定理$\frac{AE}{\sin30^\circ}=\frac{OA}{\sin\angle AEO}$，$\sin\angle AEO=\frac{OA\cdot\sin30^\circ}{AE}=\frac{r\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}r}{3}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}＞1$，矛盾，$\therefore AE\neq EF\neq FB$，A错误。
答案：A

13. 如图,已知 AB 为⊙O 的弦,从圆上任取一点作弦 CD⊥AB,连结 OC,作∠OCD的平分线交⊙O 于点 P,连结 PA,PB.求证：PA= PB.

证明：连接OP。
∵CP平分∠OCD，∴∠OCP=∠DCP。设∠OCP=∠DCP=α。
∵OC=OP（⊙O半径），∴∠OPC=∠OCP=α（等边对等角）。
∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°（垂直定义）。
在△CDP中，∠CPD=180°-∠DCP-∠CDA=180°-α-90°=90°-α（三角形内角和定理）。
∴∠OPD=∠OPC+∠CPD=α+(90°-α)=90°，即OP⊥CD。
∵CD⊥AB，∴OP//AB（垂直于同一直线的两直线平行）。
∴∠AOP=∠OAB，∠BOP=∠OBA（两直线平行，内错角相等）。
∵OA=OB（⊙O半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）。
∴∠AOP=∠BOP。
∴PA=PB（同圆中，相等圆心角所对的弦相等）。

14. 如图,A 是半圆上的一个三等分点,B 是$\widehat{AN}$的中点,P 是直径 MN 上一个动点,⊙O 的半径为 1.
(1)找出当 AP+BP 能得到最小值时点 P 的位置,并证明.
(2)求出 AP+BP 的最小值.

(1)作点A关于直径MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，点P即为所求。
证明：由对称性得AP=A'P，故AP+BP=A'P+BP。在MN上任取异于P的点P'，则AP'+BP'=A'P'+BP'＞A'B（三角形两边之和大于第三边），故当P为A'B与MN交点时，AP+BP最小。
(2)连接OA、OB、OA'。
∵A是半圆三等分点，∴∠AOM=60°，∠AON=120°。
∵B是弧AN中点，∴∠AOB=∠BON=60°，则∠MOB=120°。
A与A'关于MN对称，∴∠A'OM=60°，OA'=OA=1。
∠A'OB=∠A'OM+∠MOB=60°+120°=180°，∴A'、O、B共线。
∴A'B=OA'+OB=1+1=2，即AP+BP最小值为2。
(1)点P为圆心O；(2)2