8. 如图,已知点 A,B,C,D 均在已知圆上,$AD// BC$,AC 平分 $\angle BCD$,$\angle ADC= 120°$,四边形 ABCD 的周长为 $10\ cm$,则图中阴影部分的面积为()

A.$\frac{\sqrt{3}}{2}cm^2$
B.$(\frac{2}{3}\pi-\sqrt{3})cm^2$
C.$2\sqrt{3}cm^2$
D.$4\sqrt{3}cm^2$

B

∵AD//BC，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD=30°，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
∴∠DAC=∠ACD，AD=CD，
∵∠ADC=120°，
∴∠DAC=∠ACD=30°，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠B+∠ADC=180°，∠B=60°，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，
∴BC是圆的直径，设BC=2R，
则AB=BC·sin30°=R，AC=BC·cos30°=√3R，
在△ADC中，AD=CD，∠ADC=120°，AC=√3R，
由余弦定理得AC²=AD²+CD²-2AD·CD·cos120°，
即3R²=2AD²+AD²，AD=R，
∴AD=CD=R，AB=R，BC=2R，
∵四边形ABCD周长为10cm，
∴AB+BC+CD+AD=R+2R+R+R=5R=10，R=2，
∴BC=4cm，AD=2cm，圆的半径为2cm，
连接OA、OD，OA=OD=2cm，AD=2cm，
∴△OAD是等边三角形，∠AOD=60°，
阴影部分面积=S扇形OAD - S△OAD=60π×2²/360 - (√3/4)×2²= (2/3)π - √3，
答案：B

9. 如图,在 $Rt\triangle AOB$ 中,$\angle AOB= 90°$,$OA= 3$,$OB= 2$,将 $Rt\triangle AOB$ 绕点 O 顺时针旋转 $90°$ 后得 $Rt\triangle FOE$,将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 $90°$ 后得线段 ED,分别以点 O,E 为圆心,OA,ED 长为半径画 $\overset{\frown}{AF}$ 和 $\overset{\frown}{DF}$,连结 AD,则图中阴影部分的面积是()

A.$\pi$
B.$\frac{5\pi}{4}$
C.$3+\pi$
D.$8-\pi$

D

以O为原点建立直角坐标系，A(3,0),B(0,2)。
旋转得F(0,3),E(2,0)。EF²=2²+3²=13，ED=EF=√13。
E(2,0),EF向量(-2,3)，ED向量(3,2)，D(2+3,0+2)=(5,2)。
S阴影=S梯形AODE - S△OEF - S△DEF - (S扇形OAF - S△OAF)
S梯形AODE=(OA+ED_x)×OE/2=(3+5)×2/2=8
S△OEF=OA×OB/2=3×2/2=3，S△DEF=EF×ED/2×sin90°=3×2/2=3
S扇形OAF=90°/360°×π×3²=9π/4，S△OAF=OA×OF/2×sin90°=3×3/2=9/2
S阴影=8 - 3 - 3 - (9π/4 - 9/2)=8 - π
答案：D

10. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$CA= CB$,$\angle ACB= 90°$,$AB= 2$,D 为 AB 的中点,以点 D 为圆心作圆心角为 $90°$ 的扇形 EDF,点 C 恰好在 $\overset{\frown}{EF}$ 上,则图中阴影部分的面积为()

A.$\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}$
B.$\pi-\frac{1}{4}$
C.$\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}$
D.$\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$

D

连接CD，
∵CA=CB，∠ACB=90°，D为AB中点，AB=2，
∴CD=AD=BD=1，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
扇形EDF圆心角90°，半径CD=1，面积为$\frac{90\pi×1^2}{360}=\frac{\pi}{4}$，
设扇形EDF与AC、BC交于点E、F，
∵∠EDF=90°，∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠CDE=∠CDF=45°，
在△CDE中，CD=1，∠DCE=45°，∠CDE=45°，
∴△CDE为等腰直角三角形，DE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
同理△CDF为等腰直角三角形，DF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
S△CDE=S△CDF=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$，
阴影部分面积=扇形EDF面积-(S△CDE+S△CDF)=$\frac{\pi}{4}-(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}$，
D

11. 如图,已知半圆的直径 $AB= 12\ cm$,C,D 是这个半圆的三等分点,求弦 AC,AD 与 $\overset{\frown}{CD}$ 围成的阴影部分的面积.(结果用 $\pi$ 表示)

连接OC,OD，O为圆心。
∵AB=12cm，∴半径OA=OC=OD=6cm。
∵C,D是半圆三等分点，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°。
阴影部分由弦AC,AD与弧CD围成，可证AC//OD（∠ACO=∠COD=60°，内错角相等）。
∴△ACD与△OCD同底CD且等高，面积相等。
阴影部分面积=△ACD面积+弓形CD面积=△OCD面积+弓形CD面积=扇形OCD面积。
扇形OCD面积：$S=\frac{60°}{360°}×\pi×6^2=\frac{1}{6}×\pi×36=6\pi$。
答：阴影部分面积为$6\pi\ cm^2$。