1. 已知三角形的三条中线交于一点. 有下列结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心. 其中正确的是.(填序号)

①③

三角形三条中线的交点叫重心。锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线都交于三角形内部一点，所以①③正确，②错误。

2. 如图,点$O是\triangle ABC$的重心,则$BD$$CD$.(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)

=

因为点O是△ABC的重心，根据重心定义，重心是三角形三条中线的交点，所以AD是△ABC的一条中线，因此BD=CD。

3. 已知在$\triangle ABC$中,$AD$是中线,$G$是重心,如果$GD = 3\mathrm{cm}$,那么$AG = $$\mathrm{cm}$.

$6$

在$\triangle ABC$中，$AD$是中线，$G$是重心。
根据三角形的重心性质，重心将中线分为$2:1$的两部分，即$AG : GD = 2 : 1$。
已知$GD = 3\mathrm{cm}$，设$AG = x\mathrm{cm}$，则：
$x : 3 = 2 : 1$，
解得$x = 6$。
所以，$AG = 6\mathrm{cm}$。

4. 匀质三角板$ABC的顶点为A(0,0)$,$B(3,0)$,$C(1.5,4)$. 若要在点$G$处用针尖支撑使其平衡,则$G$的坐标为.

$(1.5,\frac{4}{3})$

因为匀质三角板的重心是三条中线的交点，即重心坐标为三个顶点坐标的算术平均数。已知顶点坐标$A(0,0)$，$B(3,0)$，$C(1.5,4)$，所以重心$G$的横坐标为$\frac{0 + 3 + 1.5}{3} = 1.5$，纵坐标为$\frac{0 + 0 + 4}{3} = \frac{4}{3}$。

5. 如图,$\triangle ABC的两条中线BE$,$CD相交于点O$. 若$\triangle BOD的面积为1$,求$\triangle BOC$的面积.

2

∵CD，BE是△ABC的中线，∴O为△ABC的重心。
∵重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，∴CO:OD=2:1。
△BOD与△BOC同高（以B为顶点，CD为底边），面积比等于底之比OD:OC。
∵OD:OC=1:2，S△BOD=1，
∴S△BOC=2×S△BOD=2×1=2。

例 1 有 5 根小木棒,长度分别为 2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,任意取其中的 3 根小木棒首尾相接搭三角形,可搭出不同的三角形的个数为()
A.4
B.5
C.6
D.7

D

从5根小木棒中任取3根，共有以下10种组合：
1. 2cm,3cm,4cm：2+3＞4，能构成三角形；
2. 2cm,3cm,5cm：2+3=5，不能构成三角形；
3. 2cm,3cm,6cm：2+3＜6，不能构成三角形；
4. 2cm,4cm,5cm：2+4＞5，能构成三角形；
5. 2cm,4cm,6cm：2+4=6，不能构成三角形；
6. 2cm,5cm,6cm：2+5＞6，能构成三角形；
7. 3cm,4cm,5cm：3+4＞5，能构成三角形；
8. 3cm,4cm,6cm：3+4＞6，能构成三角形；
9. 3cm,5cm,6cm：3+5＞6，能构成三角形；
10. 4cm,5cm,6cm：4+5＞6，能构成三角形。
综上，可搭出不同三角形的个数为7个。

巩固提升 小朵有两根长度分别为 6,10 的木棒,再从下面长度的 4 根木棒中选择一根,能围成一个三角形的是()
A.2
B.8
C.4
D.18

B

设第三根木棒长度为x，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得10-6 ＜ x ＜ 10+6，即4 ＜ x ＜ 16。选项中只有8满足条件。

例 2 如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠B = 54°,∠C = 76°.
(1)求∠ADB 和∠ADC 的度数；
(2)若 DE⊥AC,求∠EDC 的度数.

(1)
因为$\angle B = 54^{\circ}$，$\angle C = 76^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-54^{\circ}-76^{\circ}=50^{\circ}$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 25^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADB=180^{\circ}-\angle B-\angle BAD=180^{\circ}-54^{\circ}-25^{\circ}=101^{\circ}$。
$\angle ADC = 180^{\circ}-\angle ADB=79^{\circ}$（平角为$180^{\circ}$）。
(2)
因为$DE\perp AC$，所以$\angle CED = 90^{\circ}$。
在$\triangle EDC$中，$\angle EDC=180^{\circ}-\angle CED-\angle C=180^{\circ}-90^{\circ}-76^{\circ}=14^{\circ}$。
综上，(1)$\angle ADB = 101^{\circ}$，$\angle ADC = 79^{\circ}$；(2)$\angle EDC = 14^{\circ}$。