登录
7. 已知$\alpha$为锐角,且$\sin\alpha=\frac{1}{2}$,则$\alpha=$
30°
.答案
30°
解析
因为α为锐角，且sinα=1/2，根据特殊角的三角函数值可知，α=30°。
8. 如图,在Rt△ABC中,$\angle C= 90^{\circ}$,AC= 4,BC= 3,则$\sin A$的值是
$\frac{3}{5}$
.答案
$\frac{3}{5}$
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$，
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。
$\frac{3}{5}$
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$，
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$。
$\frac{3}{5}$
9. 已知$\alpha$为锐角,且$2\sin\alpha-\sqrt{3}= 0$,则$\alpha=$
$60^\circ$
.答案
$60^\circ$
解析
解：由$2\sin\alpha - \sqrt{3} = 0$，得$2\sin\alpha = \sqrt{3}$，则$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$\alpha$为锐角，所以$\alpha = 60^\circ$。
$60^\circ$
因为$\alpha$为锐角，所以$\alpha = 60^\circ$。
$60^\circ$
10. 在Rt△ABC中,$\angle C= 90^{\circ}$,已知$\angle A的正弦值是\frac{2}{3}$,那么$\angle B$的正弦值是
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
.答案
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，即∠B=90°-∠A。
因为sinA=$\frac{2}{3}$，设BC=2k，AB=3k（k＞0）。
由勾股定理得AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{9k^2-4k^2}=\sqrt{5k^2}=\sqrt{5}k$。
所以sinB=sin(90°-∠A)=cosA=$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
因为sinA=$\frac{2}{3}$，设BC=2k，AB=3k（k＞0）。
由勾股定理得AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(3k)^2-(2k)^2}=\sqrt{9k^2-4k^2}=\sqrt{5k^2}=\sqrt{5}k$。
所以sinB=sin(90°-∠A)=cosA=$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}k}{3k}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。
$\frac{\sqrt{5}}{3}$
11. 某水库的大坝横截面是梯形,坝顶、坝底分别记作BC,AD,且迎水坡AB的坡度为1:2.5,背水坡CD的坡度为1:3,则迎水坡AB的坡角
＞
背水坡CD的坡角.(填“＞”或“＜”)答案
＞
解析
设迎水坡AB的坡角为α，背水坡CD的坡角为β。
坡度为坡角的正切值，即tanα=1:2.5=2/5，tanβ=1:3=1/3。
因为2/5=6/15，1/3=5/15，所以6/15＞5/15，即tanα＞tanβ。
又因为坡角α、β均为锐角，且正切函数在(0,π/2)上单调递增，所以α＞β。
＞
坡度为坡角的正切值，即tanα=1:2.5=2/5，tanβ=1:3=1/3。
因为2/5=6/15，1/3=5/15，所以6/15＞5/15，即tanα＞tanβ。
又因为坡角α、β均为锐角，且正切函数在(0,π/2)上单调递增，所以α＞β。
＞
12. 一条上山直道的坡度为1:7,某人沿这条直道上山,则他前进50 m所上升的高度为
$5\sqrt{2}$
m.答案
$5\sqrt{2}$
解析
设上升的高度为$x$ m，水平距离为$7x$ m。
由勾股定理得：$x^{2}+(7x)^{2}=50^{2}$
$x^{2}+49x^{2}=2500$
$50x^{2}=2500$
$x^{2}=50$
$x=5\sqrt{2}$（负值舍去）
$5\sqrt{2}$
由勾股定理得：$x^{2}+(7x)^{2}=50^{2}$
$x^{2}+49x^{2}=2500$
$50x^{2}=2500$
$x^{2}=50$
$x=5\sqrt{2}$（负值舍去）
$5\sqrt{2}$
13. 如图,线段AB,CD分别表示甲、乙建筑物的高,AB⊥MN于点B,CD⊥MN于点D,两座建筑物间的距离BD为35 m.若甲建筑物的高AB为20 m,在点A处测得点C的仰角$\alpha为45^{\circ}$,则乙建筑物的高CD为
55
m.答案
55
解析
过点A作AE⊥CD于点E。
因为AB⊥MN，CD⊥MN，AE⊥CD，
所以四边形ABDE是矩形，
所以AE=BD=35m，DE=AB=20m。
在Rt△ACE中，∠CAE=45°，
tan∠CAE=CE/AE=1，
所以CE=AE=35m，
所以CD=CE+DE=35+20=55m。
55
因为AB⊥MN，CD⊥MN，AE⊥CD，
所以四边形ABDE是矩形，
所以AE=BD=35m，DE=AB=20m。
在Rt△ACE中，∠CAE=45°，
tan∠CAE=CE/AE=1，
所以CE=AE=35m，
所以CD=CE+DE=35+20=55m。
55
14. 在△ABC中,若$|\sin A-\frac{\sqrt{3}}{2}|+(\frac{1}{2}-\cos B)^{2}= 0$,$\angle A$,$\angle B$都是锐角,则△ABC是
等边
三角形.答案
等边
解析
因为$| \sin A - \frac{\sqrt{3}}{2}| + (\frac{1}{2} - \cos B)^2 = 0$，且绝对值和平方数均为非负数，所以$\sin A - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$，$\frac{1}{2} - \cos B = 0$。
由$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle A$是锐角，得$\angle A = 60^\circ$。
由$\cos B = \frac{1}{2}$，$\angle B$是锐角，得$\angle B = 60^\circ$。
则$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$。
所以$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$，$\triangle ABC$是等边三角形。
等边
由$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\angle A$是锐角，得$\angle A = 60^\circ$。
由$\cos B = \frac{1}{2}$，$\angle B$是锐角，得$\angle B = 60^\circ$。
则$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$。
所以$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$，$\triangle ABC$是等边三角形。
等边
15. 如图,在平面直角坐标系中,P(3,y)是第一象限内的点,且$\tan\alpha=\frac{4}{3}$,则$\sin\alpha=$
$\frac{4}{5}$
.答案
A（假设选项A代表$\frac{4}{5}$，由于题目未给出具体选项内容，此处仅根据解题步骤给出答案的占位符）
解析
过点$P(3,y)$作$PA\perp x$轴于点$A$，则$OA=3$，$PA=y$。
在$Rt\triangle POA$中，$\tan\alpha=\frac{PA}{OA}=\frac{y}{3}=\frac{4}{3}$，解得$y=4$。
由勾股定理得$OP=\sqrt{OA^{2}+PA^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
$\sin\alpha=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$
在$Rt\triangle POA$中，$\tan\alpha=\frac{PA}{OA}=\frac{y}{3}=\frac{4}{3}$，解得$y=4$。
由勾股定理得$OP=\sqrt{OA^{2}+PA^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
$\sin\alpha=\frac{PA}{OP}=\frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$
16. 若一个等腰三角形的底边和底边上的高分别是方程$x^{2}-10x+24= 0$的两个根,则该等腰三角形底角的正弦值是
$\frac{4}{5}$
.答案
$\frac{4}{5}$
解析
解方程$x^{2}-10x+24=0$，因式分解得$(x-4)(x-6)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$。
情况一：底边为$4$，底边上的高为$6$。
此时底边一半为$\frac{4}{2}=2$，腰长为$\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，底角的正弦值为$\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
情况二：底边为$6$，底边上的高为$4$。
此时底边一半为$\frac{6}{2}=3$，腰长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，底角的正弦值为$\frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$
情况一：底边为$4$，底边上的高为$6$。
此时底边一半为$\frac{4}{2}=2$，腰长为$\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，底角的正弦值为$\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。
情况二：底边为$6$，底边上的高为$4$。
此时底边一半为$\frac{6}{2}=3$，腰长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$，底角的正弦值为$\frac{4}{5}$。
$\frac{4}{5}$
17. 如图,某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20 cm,宽度为30 cm,那么斜面AB的坡度为
1:3
.答案
1:3
解析
坡度是指斜面的垂直高度与水平宽度的比。每级台阶高度为20cm，宽度为30cm，所以斜面AB的坡度为$20:30 = 1:3$。
1:3
1:3
18. 如图,已知$\tan O= \frac{4}{3}$,点P在边OA上,OP= 5,点M,N在边OB上,PM= PN,如果MN= 2,那么PM=
$\sqrt{17}$
.答案
$\sqrt{17}$
解析
过点P作PH⊥OB于点H，设OH=3k，PH=4k。
在Rt△POH中，由勾股定理得$(3k)^2+(4k)^2=5^2$，解得$k=1$（$k=-1$舍去），则PH=4。
因为PM=PN，PH⊥MN，MN=2，所以MH=NH=1。
在Rt△PMH中，$PM=\sqrt{PH^2+MH^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
$\sqrt{17}$
在Rt△POH中，由勾股定理得$(3k)^2+(4k)^2=5^2$，解得$k=1$（$k=-1$舍去），则PH=4。
因为PM=PN，PH⊥MN，MN=2，所以MH=NH=1。
在Rt△PMH中，$PM=\sqrt{PH^2+MH^2}=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$。
$\sqrt{17}$
