例1 计算：
(1)$ x^{8} ÷ x^{3} $； (2)$ (-x)^{8} ÷ (-x)^{3} $；
(3)$ (-x)^{8} ÷ x^{3} $； (4)$ x^{8} ÷ (-x)^{3} $。
名师导引 同底数幂的除法运算,底数保持不变,把指数相减(除法变减法)。在运算过程中,还要注意幂的运算的符号规律。

(1)
根据同底数幂的除法法则：$a^m÷ a^n = a^{m - n}$（$a\neq0$，$m$，$n$为正整数，且$m\gt n$），对于$x^{8}÷ x^{3}$，底数$a = x$，$m = 8$，$n = 3$，则：
$x^{8}÷ x^{3}=x^{8 - 3}=x^{5}$
(2)
同样根据同底数幂的除法法则，对于$(-x)^{8}÷ (-x)^{3}$，底数$a=-x$，$m = 8$，$n = 3$，则：
$(-x)^{8}÷ (-x)^{3}=(-x)^{8 - 3}=(-x)^{5}=-x^{5}$
(3)
先根据积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$，$(-x)^{8}=x^{8}$，则$(-x)^{8}÷ x^{3}$可转化为$x^{8}÷ x^{3}$。
再根据同底数幂的除法法则，$x^{8}÷ x^{3}=x^{8 - 3}=x^{5}$
(4)
由积的乘方法则$(-x)^{3}=-x^{3}$，则$x^{8}÷ (-x)^{3}$可转化为$x^{8}÷(-x^{3})$。
根据同底数幂的除法法则，$x^{8}÷(-x^{3})=-(x^{8}÷ x^{3})=-x^{8 - 3}=-x^{5}$
综上，答案依次为：(1)$x^{5}$；(2)$-x^{5}$；(3)$x^{5}$；(4)$-x^{5}$。

变式训练 计算：
(1)$ (x^{2}y)^{6} ÷ (x^{2}y)^{2} = $______；
(2)$ (x - 2y)^{10} ÷ (2y - x)^{5} = $______。

(1) $x^{8}y^{4}$；(2)$(2y - x)^{5}$。

(1) 根据幂的除法法则，$(a^m)^n=a^{mn}$，$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$，有：
$(x^{2}y)^{6} ÷ (x^{2}y)^{2} = (x^{2}y)^{6-2} = (x^{2}y)^{4} =x^{8}y^{4}$，
(2) 首先注意到$x - 2y$和$2y - x$的关系，即：
$x - 2y = -(2y - x)$，
因此，原式可以写为：
$(x - 2y)^{10} ÷ (2y - x)^{5} =(-1)^{10}(2y - x)^{10} ÷ (2y - x)^{5}= (2y - x)^{5}$，

例2 计算：
(1)$ 24x^{3}y^{4}z ÷ 8x^{2}y $；
(2)$ (12x^{3} + 6x^{2} - 3x) ÷ (-3x) $；
(3)$ (\frac{1}{4}m^{4}n^{2} - \frac{1}{2}m^{3}n^{3} + \frac{1}{8}m^{2}n^{2}) ÷ \frac{1}{2}m^{2}n $。
名师导引 单项式相除,首先分清两式相同字母及被除式独有的字母,再进行运算。多项式除以单项式,先转化为单项式除以单项式,再求和。
(1) $24x^{3}y^{4}z ÷ 8x^{2}y$
$=(24÷8)·(x^{3}÷x^{2})·(y^{4}÷y)·z$
$=3xy^{3}z$
(2) $(12x^{3} + 6x^{2} - 3x) ÷ (-3x)$
$=12x^{3}÷(-3x) + 6x^{2}÷(-3x) - 3x÷(-3x)$
$=-4x^{2} - 2x + 1$
(3) $(\frac{1}{4}m^{4}n^{2} - \frac{1}{2}m^{3}n^{3} + \frac{1}{8}m^{2}n^{2}) ÷ \frac{1}{2}m^{2}n$
$=\frac{1}{4}m^{4}n^{2}÷\frac{1}{2}m^{2}n - \frac{1}{2}m^{3}n^{3}÷\frac{1}{2}m^{2}n + \frac{1}{8}m^{2}n^{2}÷\frac{1}{2}m^{2}n$
$=\frac{1}{2}m^{2}n - mn^{2} + \frac{1}{4}n$

(1) $24x^{3}y^{4}z ÷ 8x^{2}y$
$=(24÷8)·(x^{3}÷x^{2})·(y^{4}÷y)·z$
$=3xy^{3}z$
(2) $(12x^{3} + 6x^{2} - 3x) ÷ (-3x)$
$=12x^{3}÷(-3x) + 6x^{2}÷(-3x) - 3x÷(-3x)$
$=-4x^{2} - 2x + 1$
(3) $(\frac{1}{4}m^{4}n^{2} - \frac{1}{2}m^{3}n^{3} + \frac{1}{8}m^{2}n^{2}) ÷ \frac{1}{2}m^{2}n$
$=\frac{1}{4}m^{4}n^{2}÷\frac{1}{2}m^{2}n - \frac{1}{2}m^{3}n^{3}÷\frac{1}{2}m^{2}n + \frac{1}{8}m^{2}n^{2}÷\frac{1}{2}m^{2}n$
$=\frac{1}{2}m^{2}n - mn^{2} + \frac{1}{4}n$

变式训练 计算：
(1)$ 12a^{5}b^{3} ÷ (-2ab)^{2} = $______；
(2)$ (a^{3}b^{2} - 6a^{2}b) ÷ (-3ab) = $______。

(1)$3a^{3}b$；
(2)$- \frac{1}{3}a^{2}b + 2a$。

(1) 首先计算除数 $(-2ab)^{2}$：
$(-2ab)^{2} = 4a^{2}b^{2}$
接着进行除法运算：
$12a^{5}b^{3} ÷ 4a^{2}b^{2} = (12 ÷ 4) × a^{5-2} × b^{3-2} = 3a^{3}b$
(2) 对多项式 $a^{3}b^{2} - 6a^{2}b$ 的每一项分别除以单项式 $-3ab$：
$\frac{a^{3}b^{2}}{-3ab} = -\frac{1}{3}a^{2}b$
$\frac{-6a^{2}b}{-3ab} = 2a$
将上述两个结果相加得到：
$-\frac{1}{3}a^{2}b + 2a$

1. 下列计算正确的是()

A.$ a^{6} ÷ a^{2} = a^{3} $
B.$ (-a)^{5} ÷ (-a)^{2} = a^{3} $
C.$ a^{5} ÷ a = a^{5} $
D.$ a^{7} ÷ a^{3} = a^{4} $

D

A. 根据同底数幂的除法法则，$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，所以 $a^{6} ÷ a^{2} = a^{6-2} = a^{4}$，与选项A的 $a^{3}$ 不符，故A错误；
B. 同样使用同底数幂的除法法则，$(-a)^{5} ÷ (-a)^{2} = (-a)^{5-2} = (-a)^{3} = -a^{3}$，与选项B的 $a^{3}$ 不符，故B错误；
C. 使用同底数幂的除法法则，$a^{5} ÷ a = a^{5-1} = a^{4}$，与选项C的 $a^{5}$ 不符，故C错误；
D. 使用同底数幂的除法法则，$a^{7} ÷ a^{3} = a^{7-3} = a^{4}$，与选项D的 $a^{4}$ 相符，故D正确。

2. 若$ x^{m} ÷ x^{n} = x $,则$ m 与 n $的关系是()
A.$ m = n $
B.$ m = -n $
C.$ m - n = 1 $
D.$ m - n = -1 $

C

根据同底数幂的除法法则，$x^{m} ÷ x^{n} = x^{m-n}$。
题目中给出 $x^{m} ÷ x^{n} = x$，即 $x^{m-n} = x^{1}$。
因此，$m - n = 1$。

3. 当$ x $时,$ (x - 2)^{0} $有意义。

≠2

零指数幂的意义为：任何非零数的零次幂都等于1，即$a^0 = 1(a \neq 0)$。所以对于$(x - 2)^0$，要使其有意义，底数$x - 2$不能为0，即$x - 2 \neq 0$，解得$x \neq 2$。

4. (1)$ x^{m} = 8 $,$ x^{n} = 5 $,则$ x^{m - n} = $。
(2)已知$ a^{n} = 8 $,$ a^{mn} = 64 $,则$ m = $。
(3)若$ 2^{x} = 3 $,$ 4^{y} = 5 $,则$ 2^{x - 2y} $的值为。

(1) $\frac{8}{5}$；
(2) $2$；
(3) $\frac{3}{5}$。

(1) 根据同底数幂的除法法则，$x^{m-n} = \frac{x^m}{x^n}$。已知$x^m = 8$，$x^n = 5$，代入得$x^{m-n} = \frac{8}{5}$。
(2) 已知$a^n = 8$，$a^{mn} = 64$。根据幂的乘方法则，$(a^n)^m = a^{mn}$，即$8^m = 64$。解得$m = \log_8{64} = \log_8{(8^2)} = 2$。
(3) 已知$2^x = 3$，$4^y = 5$。首先将$4^y$转化为以2为底数的幂，即$4^y = (2^2)^y = 2^{2y} = 5$。根据同底数幂的除法法则，$2^{x-2y} = \frac{2^x}{2^{2y}} = \frac{3}{5}$。

5. 计算：
(1)$ 18m^{6} ÷ (-3m^{4}) × \frac{1}{3}m $；
(2)$ (m - n)^{6} ÷ (m - n)^{3} ÷ (n - m)^{2} $；
(3)$ x^{3} \cdot x^{5} - (2x^{4})^{2} + x^{10} ÷ x^{2} $。

(1)
$18m^{6} ÷ (-3m^{4}) × \frac{1}{3}m$
$=\frac{18m^{6}}{-3m^{4}}×\frac{1}{3}m$
$=-6m^{6 - 4}×\frac{1}{3}m$
$=-6m^{2}×\frac{1}{3}m$
$=-2m^{2 + 1}$
$=-2m^{3}$
(2)
因为$(n - m)^{2}=[-(m - n)]^{2}=(m - n)^{2}$
$(m - n)^{6} ÷ (m - n)^{3} ÷ (n - m)^{2}$
$=(m - n)^{6}÷(m - n)^{3}÷(m - n)^{2}$
$=(m - n)^{6 - 3-2}$
$=(m - n)^{1}$
$=m - n$
(3)
$x^{3} \cdot x^{5} - (2x^{4})^{2} + x^{10} ÷ x^{2}$
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{3}\cdot x^{5}=x^{3 + 5}=x^{8}$
根据积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$(2x^{4})^{2}=2^{2}×(x^{4})^{2}=4x^{8}$
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$x^{10}÷ x^{2}=x^{10 - 2}=x^{8}$
则$x^{3} \cdot x^{5} - (2x^{4})^{2} + x^{10} ÷ x^{2}$
$=x^{8}-4x^{8}+x^{8}$
$=(1 - 4 + 1)x^{8}$
$=-2x^{8}$
综上，答案依次为：(1)$-2m^{3}$；(2)$m - n$；(3)$-2x^{8}$。