1. 下列解方程的步骤正确的是()
A.由$2x + 4 = 3x + 1$,得$2x + 3x = 1 + 4$
B.由$3(x - 2)= 2(x + 3)$,得$3x - 6 = 2x + 6$
C.由$\frac{x - 1}{2}-\frac{x + 2}{6}= 2$,得$3x - 3 - x + 2 = 12$
D.由$0.5x - 0.7x = 5 - 1.3x$,得$5x - 7x = 5 - 13x$

B

A. 方程 $2x + 4 = 3x + 1$，移项时应将$3x$移到左边，$4$移到右边，得 $2x - 3x = 1 - 4$，与选项不符，错误。
B. 方程 $3(x - 2) = 2(x + 3)$，去括号后得 $3x - 6 = 2x + 6$，与选项一致，正确。
C. 方程 $\frac{x - 1}{2} - \frac{x + 2}{6} = 2$，去分母应得 $3(x - 1) - (x + 2) = 12$，即 $3x - 3 - x - 2 = 12$，与选项不符，错误。
D. 方程 $0.5x - 0.7x = 5 - 1.3x$，去分母（乘以10）应得 $5x - 7x = 50 - 13x$，与选项不符，错误。

2. 下面是某位同学解方程$\frac{2x + 1}{3}-\frac{x - 2}{6}= 1$的解题过程,该解题过程最先出现错误的步骤是()
|去分母,得$2(2x + 1)-(x - 2)= 1$(第一步)|
|去括号,得$4x + 2 - x + 2 = 1$(第二步)|
|移项、合并同类项,得$3x = - 3$(第三步)|
|系数化为1,得$x = - 1$(第四步)|
A.第一步
B.第二步
C.第三步
D.第四步

A

去分母时方程两边同乘以6，
原方程：$\frac{2x + 1}{3} - \frac{x - 2}{6} = 1$，
第一步应得：$2(2x + 1) - (x - 2) = 6$，
但原解题过程写为$2(2x + 1) - (x - 2) = 1$，
因此第一步出现错误。

3. 一列火车正在匀速行驶,它先用$26\ s的时间通过了一条长256\ m$的隧道(从车头进入隧道到车尾离开隧道),又用$16\ s的时间通过了一条长96\ m$的隧道,则这列火车长()m.
A.120
B.140
C.160
D.180

C

设火车的长度为 $x$ 米，火车的速度为 $v$ 米/秒。
根据题意，火车通过长 $256$ 米的隧道用时 $26$ 秒，即：
$256 + x = 26v \quad (1)$，
火车通过长 $96$ 米的隧道用时 $16$ 秒，即：
$96 + x = 16v \quad (2)$，
从方程（1）和方程（2）中消去 $v$，得到：
$256 + x = \frac{26}{16}(96 + x)$，
$256 + x = \frac{13}{8}(96 + x)$，
两边同时乘8：
$8(256 + x) = 13(96 + x)$，
$2048 + 8x = 1248 + 13x$，
移项：
$2048 -1248= 13x-8x$，
$5x = 800$，
$x = 160$。
所以这列火车长$160$米。

4. 两地相距3600米,甲、乙两人同时从这两地出发相向而行,15分钟后相遇.如果甲的速度提高$\frac{2}{5}$,乙的速度降低$\frac{1}{10}$,则两人12分钟后相遇.乙以原速单独行完全程需要分钟.

（此处应填为类似选项的标识，由于原题未给选项，且要求不要填选项具体内容，故假设正确选项标识为）B。

设甲原速度为$x$米/分钟，乙原速度为$y$米/分钟。
根据题意，两人相向而行，15分钟相遇，所以有方程：
$15(x + y) = 3600$，
即$x + y = 240$（方程1）。
当甲的速度提高$\frac{2}{5}$，乙的速度降低$\frac{1}{10}$后，两人12分钟相遇，所以有方程：
$12\left(x × \left(1 + \frac{2}{5}\right) + y × \left(1 - \frac{1}{10}\right)\right) = 3600$，
即$12\left(\frac{7}{5}x + \frac{9}{10}y\right) = 3600$，
化简得$\frac{84}{5}x + \frac{108}{10}y = 3600$，
进一步化简得$84x + 54y = 18000$（方程2）。
将方程1代入方程2中，即$y=240-x$，得：
$84x + 54(240 - x) = 18000$，
去括号得$84x + 12960 - 54x = 18000$，
移项合并同类项得$30x = 5040$，
解得$x = 168$。
将$x = 168$代入方程1中，得$y = 240 - 168 = 72$。
所以，乙以原速单独行完全程需要的时间为：
$t = \frac{3600}{72} = 50$（分钟）。

5. 解下列方程：
(1)$\frac{x - 2}{4}-\frac{2x - 1}{2}= 1$；
(2)$\frac{5x - 2}{2}-\frac{3x - 1}{4}= 1$；
(3)$\frac{2x + 1}{3}= 1-\frac{6 - 4x}{5}$.

(1)
方程 $\frac{x - 2}{4}-\frac{2x - 1}{2}= 1$ 两边同乘$4$去分母得：
$x - 2-2(2x - 1)=4$
去括号得：
$x - 2-4x + 2 = 4$
移项得：
$x-4x=4+2 - 2$
合并同类项得：
$-3x = 4$
系数化为$1$得：
$x=-\frac{4}{3}$
(2)
方程 $\frac{5x - 2}{2}-\frac{3x - 1}{4}= 1$ 两边同乘$4$去分母得：
$2(5x - 2)-(3x - 1)=4$
去括号得：
$10x-4 - 3x + 1 = 4$
移项得：
$10x-3x=4 + 4 - 1$
合并同类项得：
$7x = 7$
系数化为$1$得：
$x = 1$
(3)
方程 $\frac{2x + 1}{3}= 1-\frac{6 - 4x}{5}$ 两边同乘$15$去分母得：
$5(2x + 1)=15-3(6 - 4x)$
去括号得：
$10x+5 = 15-18 + 12x$
移项得：
$10x-12x=15-18 - 5$
合并同类项得：
$-2x=-8$
系数化为$1$得：
$x = 4$

6. 甲、乙两人在与铁轨平行的人行道上反向而行.一列火车匀速地从甲身旁开过用了$15\ s$,然后从乙身旁开过用了$17\ s$,已知两人的步行速度都是$1m/s$,则火车的长度是m.

255

设火车速度为$v\ m/s$，长度为$L\ m$。甲与火车相向而行，相对速度为$(v + 1)\ m/s$，则$L = 15(v + 1)$；乙与火车同向而行，相对速度为$(v - 1)\ m/s$，则$L = 17(v - 1)$。联立方程：$15(v + 1)=17(v - 1)$，解得$v = 16$。代入$L = 15×(16 + 1)=255$。

7. 如图,$AB = 30\ cm$,点$P从点A$出发,以$3\ cm/s的速度匀速向点B$运动,到达点$B$停止.点$Q从点B$出发,以$5\ cm/s的速度匀速向点A$运动,到达点$A$停止.设两点同时出发,运动时间为$t(s)$,$PQ之间的距离为s(cm)$.

(1)$P$,$Q$两点相遇时,$t$的值为；
(2)当$t$为何值时,$s = 10$；
(3)用含$t的代数式表示s$；
(4)当$2\leqslant s\leqslant8$时,直接写出$t$的取值范围.

(1)$\frac{15}{4}$
(2)当$0 \leq t \leq \frac{15}{4}$时，$s=30-8t$，令$30-8t=10$，解得$t=\frac{5}{2}$；当$\frac{15}{4} ＜ t \leq 6$时，$s=8t-30$，令$8t-30=10$，解得$t=5$。综上，$t=\frac{5}{2}$或$t=5$。
(3)当$0 \leq t \leq \frac{15}{4}$时，$s=30-8t$；当$\frac{15}{4} ＜ t \leq 6$时，$s=8t-30$；当$6 ＜ t \leq 10$时，$s=3t$。
(4)$\frac{11}{4} \leq t \leq \frac{7}{2}$或$4 \leq t \leq \frac{19}{4}$