例5 如图,OA 的方向是北偏东 $ 20^{\circ} $,OB 的方向是西北方向,若 $ \angle AOC = \angle AOB $,则 OC 的方向是()

A.北偏东 $ 85^{\circ} $
B.北偏东 $ 65^{\circ} $
C.东偏北 $ 15^{\circ} $
D.东偏北 $ 25^{\circ} $

A

由于$OB$的方向是西北方向，即北偏西$45°$，
所以$\angle BON=45°$，
由于$OA$为北偏东$20°$，
所以$\angle AON=20°$，
因此$\angle AOB=\angle AON+\angle BON=20°+45°=65°$，
根据题意，$\angle AOC=\angle AOB$，
所以$\angle AOC=65°$，
由于$\angle AON=20°$，
所以$\angle NOC=\angle AOC+\angle AON=20°+65°=85°$，
因此$OC$的方向是北偏东$85°$。

巩固提升 如图,加油站 B 位于小艺家 A 北偏东 $ 30^{\circ} $方向,停车场 C 位于小艺家南偏东 $ 45^{\circ} $方向,则 $ \angle BAC $ 的度数为()

A.$ 75^{\circ} $
B.$ 85^{\circ} $
C.$ 95^{\circ} $
D.$ 105^{\circ} $

D

由题意知，以小艺家A为原点，正北方向与AB的夹角为$30^{\circ}$，正南方向与AC的夹角为$45^{\circ}$。因为正北与正南方向夹角为$180^{\circ}$，所以$\angle BAC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}$。

1. 已知 $ \angle 1 $ 和 $ \angle 2 $ 互为余角,且 $ \angle 2 $ 与 $ \angle 3 $ 互补,$ \angle 1 = 60^{\circ} $,则 $ \angle 3 = $()
A.$ 120^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 30^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $

D

已知 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 互为余角，则 $\angle 1 + \angle 2 = 90°$。
又 $\angle 1 = 60°$，故 $\angle 2 = 90° - 60° = 30°$。
$\angle 2$ 与 $\angle 3$ 互补，则 $\angle 2 + \angle 3 = 180°$。
代入 $\angle 2 = 30°$，得 $\angle 3 = 180° - 30° = 150°$。

2. 如图,安装窗帘架只需固定其中的两点,这样做的根据是()


A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.过一点有无数条直线
D.两点之间,线段最短

A

安装窗帘架时固定两点，是根据“两点确定一条直线”的原理，确保窗帘杆保持直线固定。其他选项与题意无关。

3. 如图,将正方形纸片 ABCD 折叠,使边 AB,CB 均落在对角线 BD 上,得折痕 BE,BF,则 $ \angle EBF $ 的大小为()

A.$ 15^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

C

因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°。由折叠性质知，BE平分∠ABD，BF平分∠CBD，所以∠ABE=∠EBD=22.5°，∠CBF=∠FBD=22.5°。则∠EBF=∠EBD+∠FBD=22.5°+22.5°=45°。

4. 如图,点 C 在线段 AB 上,点 M,N 分别是 AC,BC 的中点,设 $ AC + BC = a $,则 MN 的长度是()

A.$ 2a $
B.$ a $
C.$ \frac{1}{2}a $
D.$ \frac{1}{4}a $

C

由于点$M$，$N$分别是$AC$，$BC$的中点，
根据中点的定义，有：
$MC = \frac{1}{2}AC$，
$NC = \frac{1}{2}BC$，
又因为$MN = MC + NC$，
将$MC$和$NC$的表达式代入，得到：
$MN = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC$，
根据题目条件$AC + BC = a$，代入上式得：
$MN = \frac{1}{2}(AC + BC) = \frac{1}{2}a$。

5. (1)计算：$ 38^{\circ}25' + 50^{\circ}28' = $,$ 82^{\circ} - 15^{\circ}26' = $.(直接写出结果)
(2)$ \angle A $ 的余角比它的补角的三分之一多 $ 6^{\circ} $,则 $ \angle A = $.

(1) $88^{\circ}53'$，$66^{\circ}34'$ ；
(2) $36^{\circ}$ 。

(1)
首先，计算 $38^{\circ}25' + 50^{\circ}28'$。
由于 $1^{\circ} = 60'$，所以 $38^{\circ}25' + 50^{\circ}28' = 88^{\circ}53'$。
接着，计算 $82^{\circ} - 15^{\circ}26'$。
由于 $82^{\circ} = 81^{\circ}60' - 15^{\circ}26' = 66^{\circ}34'$（这里将$82^{\circ}$转换为$81^{\circ}60'$以便进行减法）。
(2)
设 $\angle A = x$，根据题意，$\angle A$ 的余角是 $90^{\circ} - x$，$\angle A$ 的补角是 $180^{\circ} - x$。
根据题目条件，可以列出方程：
$90^{\circ} - x = \frac{1}{3}(180^{\circ} - x) + 6^{\circ}$，
去分母，可得：
$270^{\circ} - 3x = 180^{\circ} - x + 18^{\circ}$，
移项，合并同类项可得：
$-3x+x= 180^{\circ}+18^{\circ}-270^{\circ}$
$-2x = -72^{\circ}$
系数化为$1$，解得：
$x = 36^{\circ}$

6. 如图,线段 $ AB = 60 cm $,点 C 在线段 AB 上,且 $ AC:CB = 7:3 $,点 N 在线段 AC 上,M 是线段 BC 的中点.
(1)求线段 AC 的长度；
(2)若 $ AN = 16 cm $,求线段 MN 的长度.

(1) $ 42 \, cm $；(2) $ 35 \, cm $。

(1) 因为 $ AC:CB = 7:3 $，设 $ AC = 7x \, cm $，$ CB = 3x \, cm $。
由于 $ AB = AC + CB = 60 \, cm $，所以 $ 7x + 3x = 60 $，解得 $ x = 6 $。
因此，$ AC = 7x = 7 × 6 = 42 \, cm $。
(2) 由(1)知 $ CB = 3x = 18 \, cm $，因为 $ M $ 是 $ BC $ 的中点，所以 $ CM = \frac{1}{2}CB = \frac{1}{2} × 18 = 9 \, cm $。
又因为 $ AN = 16 \, cm $，$ AC = 42 \, cm $，所以 $ NC = AC - AN = 42 - 16 = 26 \, cm $。
因此，$ MN = NC + CM = 26 + 9 = 35 \, cm $。