登录
10. 在同一平面直角坐标系中,二次函数 $ y= ax^2 $ 与一次函数 $ y= bx+c $ 的图像如图所示,则二次函数 $ y= ax^2+bx+c $ 的图像可能是(
A.
B.
C.
D.
C
)A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
由二次函数$y = ax^2$的图像开口向上，得$a＞0$；由一次函数$y = bx + c$的图像经过第一、二、四象限，得$b＜0$，$c＞0$。二次函数$y=ax^2+bx+c$中，$a＞0$开口向上，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$（在y轴右侧），与y轴交点为$(0,c)$且$c＞0$，符合条件的图像为选项C。
C
C
11. 已知函数 $ y= x^2-8x+9 $,当 $ x＞ $
4
时,y 随 x 的增大而增大.答案
4
解析
函数$y = x^2 - 8x + 9$的二次项系数为$1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2×1}=4$，当$x＞4$时，$y$随$x$的增大而增大。
4
4
12. 用配方法将二次函数 $ y= x^2-8x-9 $ 化为 $ y= a(x-h)^2+k $ 的形式为
$y = (x - 4)^2 - 25$
.答案
$y = (x - 4)^2 - 25$
解析
$y=x^2 - 8x - 9$
$=x^2 - 8x + 16 - 16 - 9$
$=(x - 4)^2 - 25$
$=x^2 - 8x + 16 - 16 - 9$
$=(x - 4)^2 - 25$
13. 若二次函数 $ y= ax^2+bx+c(a≠0) $ 中,函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| y | … | 0 | -2 | -2 | 0 | 4 | … |
则当 $ -3≤x≤2 $ 时,y 的最大值为
| x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
| y | … | 0 | -2 | -2 | 0 | 4 | … |
则当 $ -3≤x≤2 $ 时,y 的最大值为
4
.答案
4
解析
由表可知二次函数过点$(-2,0)$，$(1,0)$，$(0,-2)$。
设二次函数解析式为$y=a(x+2)(x-1)$，将$(0,-2)$代入得：
$-2=a(0+2)(0-1)$
$-2=a×2×(-1)$
$-2=-2a$
解得$a=1$
所以二次函数解析式为$y=(x+2)(x-1)=x^2+x-2$
其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，开口向上。
当$-3\leq x\leq2$时，
当$x=-3$时，$y=(-3)^2+(-3)-2=9 - 3 - 2=4$
当$x=2$时，$y=4$
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 2=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2=-\frac{9}{4}$
比较可得$y$的最大值为$4$
4
设二次函数解析式为$y=a(x+2)(x-1)$，将$(0,-2)$代入得：
$-2=a(0+2)(0-1)$
$-2=a×2×(-1)$
$-2=-2a$
解得$a=1$
所以二次函数解析式为$y=(x+2)(x-1)=x^2+x-2$
其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，开口向上。
当$-3\leq x\leq2$时，
当$x=-3$时，$y=(-3)^2+(-3)-2=9 - 3 - 2=4$
当$x=2$时，$y=4$
当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 2=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2=-\frac{9}{4}$
比较可得$y$的最大值为$4$
4
14. 已知二次函数 $ y= ax^2+bx+c $ 的部分图像如图所示,则关于 x 的一元二次方程 $ ax^2+bx+c= 0 $ 的解为
$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$
.答案
$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$
15. 已知二次函数 $ y= ax^2-2ax+1(a＜0) $ 图像上三点 $ A(-1,y_1) $,$ B(2,y_2) $,$ C(4,y_3) $,则 $ y_1,y_2,y_3 $ 的大小关系为
$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
.答案
$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
解析
二次函数对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
点$A(-1,y_1)$到对称轴距离为$| -1 - 1|=2$；
点$B(2,y_2)$到对称轴距离为$|2 - 1|=1$；
点$C(4,y_3)$到对称轴距离为$|4 - 1|=3$。
因为$a＜0$，抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大。
由于$1＜2＜3$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
点$A(-1,y_1)$到对称轴距离为$| -1 - 1|=2$；
点$B(2,y_2)$到对称轴距离为$|2 - 1|=1$；
点$C(4,y_3)$到对称轴距离为$|4 - 1|=3$。
因为$a＜0$，抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大。
由于$1＜2＜3$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
16. 我校附近一涵洞的截面是抛物线形状,如图所示的平面直角坐标系中,抛物线对应的函数表达式为 $ y= -\frac{1}{4}x^2 $,当涵洞水面宽 AB 为 16 m 时,涵洞顶点 O 至水面的距离是
16
m.答案
16
解析
因为抛物线表达式为$y = -\frac{1}{4}x^2$，水面宽$AB = 16\space m$，所以点$A$、$B$的横坐标分别为$-8$和$8$。
当$x = 8$时，$y=-\frac{1}{4}×8^2=-\frac{1}{4}×64=-16$。
则涵洞顶点$O$至水面的距离是$|-16| = 16\space m$。
16
当$x = 8$时，$y=-\frac{1}{4}×8^2=-\frac{1}{4}×64=-16$。
则涵洞顶点$O$至水面的距离是$|-16| = 16\space m$。
16
17. 已知点 $ A(a,7) $ 在抛物线 $ y= x^2+4x+10 $ 上.
(1)求点 A 的坐标；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
(1)求点 A 的坐标；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
答案
(1)由于点$A(a,7)$在抛物线$y = x^2 + 4x + 10$上，
代入得：$7 = a^2 + 4a + 10$，
整理得：$a^2 + 4a + 3 = 0$，
因式分解得：$(a+3)(a+1) = 0$，
解得：$a = -3$ 或 $a = -1$，
所以，点A的坐标为$(-3,7)$或$(-1,7)$。
(2)对于抛物线$y = x^2 + 4x + 10$，
配方得：$y = (x + 2)^2 + 6$，
由此可得，抛物线的对称轴为直线$x = -2$，顶点坐标为$(-2,6)$。
代入得：$7 = a^2 + 4a + 10$，
整理得：$a^2 + 4a + 3 = 0$，
因式分解得：$(a+3)(a+1) = 0$，
解得：$a = -3$ 或 $a = -1$，
所以，点A的坐标为$(-3,7)$或$(-1,7)$。
(2)对于抛物线$y = x^2 + 4x + 10$，
配方得：$y = (x + 2)^2 + 6$，
由此可得，抛物线的对称轴为直线$x = -2$，顶点坐标为$(-2,6)$。
