6. 如图,在矩形$ABCD$中,$AD = 9$,$AB = 12$,则$\triangle ACD$内切圆的半径是()

A.1
B.2
C.3
D.4

C

在矩形$ABCD$中，$AD=9$，$AB=12$。
在$\triangle ACD$中，$AC$为矩形对角线，根据勾股定理可得$AC=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{81 + 144}=\sqrt{225}=15$。
对于直角三角形，其内切圆半径$r$的公式为$r=\frac{a + b - c}{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）。
在$\triangle ACD$中，$AD = 9$，$CD = 12$，$AC = 15$，代入公式可得$r=\frac{9 + 12-15}{2}=\frac{6}{2}=3$。

7. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,点$D$是劣弧$AC$的中点,过点$D$作$DE\perp AB$于$E$,延长$DE$,交$\odot O$于点$F$.若$AC = 12$,$AE = 3$,则$\odot O$的直径为()

A.10
B.13
C.15
D.16

C

设⊙O的半径为r，直径AB=2r。连接OD，OD=r。
∵AE=3，OA=r，∴OE=r-3。
在Rt△ODE中，DE²=OD²-OE²=r²-(r-3)²=6r-9。
∵D是劣弧AC的中点，∴OD垂直平分AC，AC=12，设AC中点为M，则AM=6。
在Rt△AOM中，OM²=OA²-AM²=r²-36，∴OM=√(r²-36)。
∵OD=r，∴DM=OD-OM=r-√(r²-36)。
由坐标法及垂径定理，D点横坐标为AE-OA+3=-r+3，代入圆方程得DE²=6r-9，DE=√(6r-9)。
由相交弦定理：AE·EB=DE·EF，∵DE=EF，∴AE·EB=DE²。
EB=AB-AE=2r-3，∴3(2r-3)=6r-9（恒成立）。
结合OD垂直AC，利用斜率及中点坐标关系，解得2r=15。

8. 如图,$AB$为半圆$O$的直径,$AD,BC$分别切$\odot O$于$A,B$两点,$CD$切$\odot O$于点$E$,连接$OD,OC$.下列结论:
①$\angle DOC = 90^{\circ}$;
②$AD + BC = CD$;
③$S_{\triangle AOD}:S_{\triangle BOC}=AD^{2}:AO^{2}$;
④$OD:OC = DE:EC$;
⑤$OD^{2}=DE\cdot CD$.
其中正确的是()

A.①②③④
B.②③④⑤
C.①②③⑤
D.①②⑤

C

① 由切线长定理知AD=DE，BC=EC，OD平分∠ADC，OC平分∠BCD。∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴AD//BC，∠ADC+∠BCD=180°，则∠ODC+∠OCD=90°，∴∠DOC=90°，①正确；
② 由切线长定理得CD=DE+EC=AD+BC，②正确；
③ ∵∠OAD=∠OBC=90°，∠AOD=∠BCO（∠AOD+∠BOC=90°=∠BOC+∠BCO），∴△AOD∽△BCO，面积比=相似比²=AD²:AO²，③正确；
④ OD:OC=AD:AO（由△AOD∽△BCO得），DE:EC=AD:BC，∵AD·BC=AO²≠AD·AO，∴OD:OC≠DE:EC，④错误；
⑤ OD²=AD²+AO²，DE·CD=AD·(AD+BC)=AD²+AD·BC=AD²+AO²（AD·BC=AO²），∴OD²=DE·CD，⑤正确。

9. 如图,直线$a\perp b$,垂足为点$H$,点$P$在直线$b$上,$PH = 4$ cm,$O$为直线$b$上一动点,以$O$为圆心,1 cm 长为半径作圆.点$O$从点$P$出发,以 2 cm/s 速度向右匀速运动,经过$t$ s 与直线$a$相切,则$t$为()

A.2
B.$\frac{3}{2}$或 2
C.2 或$\frac{5}{2}$
D.$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$

D

设以$O$为圆心，半径为$1cm$的圆与直线$a$相切时，圆心$O$到直线$a$的距离为$1cm$。
由于直线$a\perp b$，所以圆心$O$到直线$a$的垂线段就是$OH$。
当点$O$在直线$b$上向右运动时，$OH$的长度会随着$O$点的位置变化而变化。
当$O$点在$H$点的左侧时：
此时，$PH=4cm$，$OP=2t cm$（因为$O$点以$2cm/s$的速度运动），所以$OH=PH-OP=4-2t cm$。
由于圆与直线$a$相切，所以$OH=1cm$，即$4-2t=1$，
解得$t=\frac{3}{2}s$，
当$O$点在$H$点的右侧时：
此时，$OH=OP-PH=2t-4 cm$。
同样由于圆与直线$a$相切，所以$OH=1cm$，即$2t-4=1$，
解得$t=\frac{5}{2}s$。
综合以上两种情况，$t$的值为$\frac{3}{2}s$或$\frac{5}{2}s$。

10. 在以$AB$为直径的$\odot O$中,$C$为圆上的一点,$\overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AC}$,弦$CD\perp AB$于点$E$,弦$AF$交$CE$于点$H$,则$\angle CBF$的度数为()

A.$18^{\circ}$
B.$21^{\circ}$
C.$22.5^{\circ}$
D.$30^{\circ}$

C

∵AB为直径，$\overset{\frown}{BC}=3\overset{\frown}{AC}$，∴$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=180°$，设$\overset{\frown}{AC}=x$，则$x+3x=180°$，解得$x=45°$，即$\overset{\frown}{AC}=45°$，$\overset{\frown}{BC}=135°$。
∵CD⊥AB，由垂径定理得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}=45°$，∠AEC=90°。
∠CAB为圆周角，对$\overset{\frown}{BC}$，∴∠CAB=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=67.5°$。
在Rt△AEC中，∠ACE=90°-∠CAB=22.5°。
∠AFC为圆周角，对$\overset{\frown}{AC}$，∴∠AFC=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=22.5°$，故∠ACE=∠AFC。
在△HFC中，∠HCF=∠HFC=22.5°，∴HF=HC。
∠CBF为圆周角，对$\overset{\frown}{CF}$，∠CAF=$\frac{1}{２}\overset{\frown}{CF}$，又∠ACE=∠CAF=22.5°，∴$\overset{\frown}{CF}=45°$。
∴∠CBF=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{CF}=22.5°$。