23. （14 分）如图，在菱形 $ ABCD $ 中，对角线 $ AC $，$ AB = 10 $ cm，$ BD = 4\sqrt{5} $，点 $ P $ 沿 $ AB $ 方向匀速运动，速度为 1 cm/s，动点 $ Q $ 从点 $ A $ 出发，沿 $ AD $ 方向匀速运动，以 $ AP $，$ AQ $ 为邻边的平行四边形 $ APMQ $ 的边 $ PM $ 与 $ AC $ 交于点 $ E $.设运动时间为 $ t $（单位：s）($ 0 ＜ t \leq 5 $)，解答下列问题：
(1) 当点 $ M $ 在 $ BD $ 上时，求 $ t $ 的值；
(2) 连接 $ BE $，设 $ \triangle PEB $ 的面积为 $ S $(单位：cm²)，求 $ S $ 与 $ t $ 的函数关系式和 $ S $ 的最大值；
(3) 是否存在某一时刻 $ t $，使点 $ B $ 在 $ \angle PEC $ 的平分线上？若存在，求出 $ t $ 的值，并说明理由.
 

(1)5；(2)S=-2/5t²+4t，最大值10；(3)存在，t=10 - 5√5/2。

(1) 设菱形对角线交于点O，AC⊥BD，BO=2√5，AO=4√5。由平行四边形APMQ，M坐标为(-4√5 + 4√5t/5, 0)。M在BD(x=0)上，得-4√5 + 4√5t/5=0，解得t=5。
(2) E为PM与AC交点，E(4√5(t-5)/5, 0)。P(-4√5 + 2√5t/5, √5t/5)，B(0,2√5)。S=1/2|x_P(0-2√5)+x_E(2√5 - y_P)|=(-2/5)t²+4t。对称轴t=5，t=5时S_max=10。函数关系式S=-2/5t²+4t，最大值10。
(3) 点B到EC(y=0)距离为2√5，到EP距离相等。EP方程x+2y - x_E=0，B到EP距离|4√5 - x_E|/√5=2√5，|4√5 - x_E|=10。x_E=4√5(t-5)/5，解得t=10 - 5√5/2(另一解舍去)。存在t=10 - 5√5/2。