23. (12分)某校举行了环保知识竞赛,从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行整理分析,并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图如下.

请根据图表信息,回答下列问题.
(1) $n =$,$a =$;
(2) 请补全频数分布直方图;

(3) 求这n名学生成绩的平均分;

(4) 从成绩在$75.5\leqslant x\lt80.5$和$95.5\leqslant x\lt100.5$的学生中任选两名学生.请用列表法或画树状图的方法,求选取的学生成绩在$75.5\leqslant x\lt80.5$和$95.5\leqslant x\lt100.5$中各一名的概率.

$(1)$ 求$n$和$a$的值
已知$75.5\leqslant x\lt80.5$这一组的频数是$2$，频率是$0.05$。
根据公式$频率=\frac{频数}{总数}$，即$n=\frac{频数}{频率}$，可得$n = \frac{2}{0.05}=40$。
因为所有频率之和为$1$，所以$a=1-(0.05 + 0.375+0.275 + 0.05)=0.25$。
$(2)$ 补全频数分布直方图
$80.5\leqslant x\lt85.5$这一组的频数为$40×0.25 = 10$，$90.5\leqslant x\lt95.5$这一组的频数为$40×0.275 = 11$。
根据计算出的频数补全直方图（此处文字描述补全方式：在$80.5 - 85.5$对应的直方图上补画高度为$10$的矩形，在$90.5 - 95.5$对应的直方图上补画高度为$11$的矩形）。
$(3)$ 求这$n$名学生成绩的平均分
根据加权平均数公式$\bar{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots+x_{k}f_{k}}{n}$（其中$x_{i}$为组中值，$f_{i}$为频率 ）。
$\begin{aligned}\bar{x}&=78×0.05 + 83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05\\&=3.9+20.75 + 33+25.725+4.9\\&=88.275\end{aligned}$
$(4)$ 求选取的学生成绩在$75.5\leqslant x\lt80.5$和$95.5\leqslant x\lt100.5$中各一名的概率
设$75.5\leqslant x\lt80.5$的$2$名学生为$A_{1},A_{2}$，$95.5\leqslant x\lt100.5$的$2$名学生为$B_{1},B_{2}$。
一共有$12$种等可能的结果，其中成绩在$75.5\leqslant x\lt80.5$和$95.5\leqslant x\lt100.5$中各一名的结果有$8$种。
所以$P=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{40}$，$\boldsymbol{0.25}$；$(3)$$\boldsymbol{88.275}$；$(4)$$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$ 。