8. 如图，在正方形$ABCD$中，点$E$，$F$分别为对角线$BD$，$AC$的三等分点，连接并延长$AE$，交$CD$于点$G$，连接$EF$，$FG$。若$\angle AGF=\alpha$，则$\angle FAG$用含$\alpha$的代数式表示为()

A.$\frac{45^{\circ}-\alpha}{2}$
B.$\frac{90^{\circ}-\alpha}{2}$
C.$\frac{45^{\circ}+\alpha}{2}$
D.$\frac{\alpha}{2}$

B

设正方形边长为6，建立坐标系：A(0,0)，B(6,0)，C(6,6)，D(0,6)。对角线BD：B(6,0)到D(0,6)，E为BD靠近D的三等分点，由定比分点得E(2,4)；AC：A(0,0)到C(6,6)，F为AC靠近C的三等分点，得F(4,4)。AE方程为y=2x，交CD(y=6)于G(3,6)。
向量GA=(-3,-6)，GF=(1,-2)，∠AGF=α，计算得cosα=3/5，sinα=4/5。向量AF=(4,4)，AG=(3,6)，∠FAG=θ，计算得cosθ=3√10/10，sinθ=√10/10。
由sinα=4/5，cos2θ=1-2sin²θ=4/5，得sinα=cos2θ=sin(90°-2θ)，故α=90°-2θ，θ=(90°-α)/2。

9. 如图，$AB$是半圆$O$的直径，以弦$AC$为折痕折叠$\overset{\frown}{AC}$后，恰好经过点$O$，则$\angle AOC$等于()

A.$120^{\circ}$
B.$125^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$145^{\circ}$

A

连接OA、OC，设半圆O的半径为r。过O作AC的垂线，垂足为D，由折叠性质知，O关于AC的对称点O'在弧AC上，且AC垂直平分OO'，故OD=O'D，OO'=2OD。
因为折叠后弧AC经过O，所以O'在半圆O上，即OO'=OA=OC=r，因此OD=OO'/2=r/2。
在Rt△ADO中，OA=r，OD=r/2，∠ADO=90°，则sin∠OAD=OD/OA=1/2，故∠OAD=30°，即∠OAC=30°。
因为OA=OC，△AOC为等腰三角形，所以∠OCA=∠OAC=30°，则∠AOC=180°-2×30°=120°。

10. 已知$a$，$b$，$c$分别是$Rt\triangle ABC$的三条边，$c$为斜边，我们把形如$y=\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}$的一次函数称为“勾股一次函数”。若点$P(1,\frac{3\sqrt{5}}{5})$在勾股一次函数的图象上，且$Rt\triangle ABC$的面积等于4，则$c$的值为()
A.2
B.4
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{6}$

C

∵点$P(1,\frac{3\sqrt{5}}{5})$在“勾股一次函数”$y=\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}$上，
∴当$x=1$时，$y=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，即$a+b=\frac{3\sqrt{5}}{5}c$。
∵$Rt\triangle ABC$面积为4，∴$\frac{1}{2}ab=4$，即$ab=8$。
∵$c$为斜边，由勾股定理得$a^2+b^2=c^2$。
∵$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
∴$(\frac{3\sqrt{5}}{5}c)^2=c^2+2×8$，
即$\frac{9}{5}c^2=c^2+16$，
化简得$\frac{4}{5}c^2=16$，解得$c^2=20$，$c=2\sqrt{5}$（$c＞0$）。

11. 已知关于$x$的方程$\frac{x}{x - 1}-2=\frac{k}{1 - x}$的解为正数，则$k$的取值范围为。

$k ＞ - 2$且$k \neq - 1$

首先去分母，方程$\frac{x}{x - 1}-2=\frac{k}{1 - x}$两边同时乘以$(x-1)$（注意$x\neq1$）得：
$x-2(x-1)=-k$，
展开得：
$x-2x+2=-k$，
合并同类项：
$-x+2=-k$，
从而有：
$x=k+2$，
由于方程的解为正数，所以：
$k+2＞0$，
解得：
$k＞-2$，
又因为$x\neq1$，所以：
$k+2\neq1$，
即：
$k\neq-1$，
综上，$k$的取值范围为$k＞-2$且$k\neq-1$。

12. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a\lt0\\2x - 1\geqslant7\end{cases}$至少有两个整数解，且存在以3，$a$，7为边的三角形，则$a$的整数解有个。

4

解不等式组$\begin{cases}x - a\lt0\\2x - 1\geqslant7\end{cases}$，得$4\leqslant x\lt a$。
∵不等式组至少有两个整数解，∴整数解至少为4，5，故$a\gt5$。
∵以3，a，7为边的三角形存在，根据三角形三边关系：
$3+7\gt a$且$3+a\gt7$，解得$4\lt a\lt10$。
综上，$5\lt a\lt10$，a的整数解为6，7，8，9，共4个。

13. 如图，以$\odot O$的半径为半径，自$\odot O$上的$A$点起，在圆上依次画弧截取点$B$，$C$，$D$，$E$，$F$。正方形$EFGH$的中心为$O_{1}$，连接$FA$，$FO_{1}$，则$\angle AFO_{1}=$。

45°

连接OA、OE、OF，由题意知A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，故∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°，△AOF为等边三角形，∠OFA=60°。正方形EFGH中，EF为边长，中心O₁为对角线交点，∠EO₁F=90°，EO₁=FO₁，△EO₁F为等腰直角三角形，∠EFO₁=45°。△EOF为等边三角形，∠OFE=60°，则∠OFO₁=∠OFE - ∠EFO₁=15°。故∠AFO₁=∠AFO - ∠OFO₁=60° - 15°=45°。