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20. (本题满分 8 分)
为了解决雨季时城市内涝的问题,某市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在改造一段长 $ 3600\,m $ 的街道地下管网时,每天的施工效率比原计划提高了 $ 20\% $,按这样的进度可以比原计划提前 10 天完成任务.求实际施工时每天改造管网的长度.
为了解决雨季时城市内涝的问题,某市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在改造一段长 $ 3600\,m $ 的街道地下管网时,每天的施工效率比原计划提高了 $ 20\% $,按这样的进度可以比原计划提前 10 天完成任务.求实际施工时每天改造管网的长度.
答案
设原计划每天施工$x$米，则实际每天施工$(1 + 20\%)x = 1.2x$米，
根据题意得：$\frac{3600}{x} - 10 = \frac{3600}{1.2x}$，
方程两边同时乘$1.2x$，得：
$4320-12x= 3600$，
移项，合并同类项得：
$-12x= -720$，
系数化为$1$，解得：
$x = 60$，
经检验，$x = 60$是原分式方程的解，且符合题意，
实际施工时每天改造管网的长度为：
$1.2x = 1.2× 60 = 72$（米），
所以，实际施工时每天改造管网的长度为$72$米。
根据题意得：$\frac{3600}{x} - 10 = \frac{3600}{1.2x}$，
方程两边同时乘$1.2x$，得：
$4320-12x= 3600$，
移项，合并同类项得：
$-12x= -720$，
系数化为$1$，解得：
$x = 60$，
经检验，$x = 60$是原分式方程的解，且符合题意，
实际施工时每天改造管网的长度为：
$1.2x = 1.2× 60 = 72$（米），
所以，实际施工时每天改造管网的长度为$72$米。
21. (本题满分 12 分)
课堂上,老师给出了如下一道探究题:如图,在边长为 1 的正方形组成的 $ 6×8 $ 的方格中,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ 的顶点都在格点上,且 $ \triangle ABC\cong\triangle A_{1}B_{1}C_{1} $.
(1) 请以点 $ C $ 为旋转中心,将 $ \triangle ABC $ 按逆时针方向旋转 $ 90^{\circ} $,得到 $ \triangle A_{2}B_{2}C $,在方格中画出 $ \triangle A_{2}B_{2}C $;
(2) 请利用平移或旋转变换,设计一种方案,使得 $ \triangle ABC $ 通过两次变换后与 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ 完全重合;
(3) 请仔细观察,$ \triangle ABC $ 能否只通过一次旋转就能得到 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $? 若能,请在图中直接标出旋转中心 $ P $;若不能,请简要说明理由.
课堂上,老师给出了如下一道探究题:如图,在边长为 1 的正方形组成的 $ 6×8 $ 的方格中,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ 的顶点都在格点上,且 $ \triangle ABC\cong\triangle A_{1}B_{1}C_{1} $.
(1) 请以点 $ C $ 为旋转中心,将 $ \triangle ABC $ 按逆时针方向旋转 $ 90^{\circ} $,得到 $ \triangle A_{2}B_{2}C $,在方格中画出 $ \triangle A_{2}B_{2}C $;
(2) 请利用平移或旋转变换,设计一种方案,使得 $ \triangle ABC $ 通过两次变换后与 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $ 完全重合;
(3) 请仔细观察,$ \triangle ABC $ 能否只通过一次旋转就能得到 $ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $? 若能,请在图中直接标出旋转中心 $ P $;若不能,请简要说明理由.
答案
(1)如图
连接$A_2$、$B_2$、$C$，得到$\triangle A_{2}B_{2}C$。
(2)
先将△ABC向右平移2格，再绕点B(B1)顺时针旋转90°。
(3)能；如图
