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8. 若不论 $x$ 为何值,$(x + a)^2 = x^2 - x + a^2$ 恒成立,则常数 $a$ 等于(
A.$2$
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
D
)A.$2$
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
D
解析
将等式左边展开：$(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$。
因为等式$x^2 + 2ax + a^2 = x^2 - x + a^2$恒成立，两边同时减去$x^2 + a^2$得：$2ax = -x$。
对于任意$x$，上式成立，则$2a = -1$，解得$a = -\frac{1}{2}$。
D
因为等式$x^2 + 2ax + a^2 = x^2 - x + a^2$恒成立，两边同时减去$x^2 + a^2$得：$2ax = -x$。
对于任意$x$，上式成立，则$2a = -1$，解得$a = -\frac{1}{2}$。
D
9. 若 $m^2 + n^2 = 4n - 4m - 8$,则 $m - n$ 的值等于(
A.$-2$
B.$0$
C.$-4$
D.$4$
C
)A.$-2$
B.$0$
C.$-4$
D.$4$
答案
C
解析
$m^2 + n^2 = 4n - 4m - 8$
$m^2 + 4m + n^2 - 4n + 8 = 0$
$m^2 + 4m + 4 + n^2 - 4n + 4 = 0$
$(m + 2)^2 + (n - 2)^2 = 0$
$\because (m + 2)^2 \geq 0$，$(n - 2)^2 \geq 0$
$\therefore m + 2 = 0$，$n - 2 = 0$
$\therefore m = -2$，$n = 2$
$\therefore m - n = -2 - 2 = -4$
C
$m^2 + 4m + n^2 - 4n + 8 = 0$
$m^2 + 4m + 4 + n^2 - 4n + 4 = 0$
$(m + 2)^2 + (n - 2)^2 = 0$
$\because (m + 2)^2 \geq 0$，$(n - 2)^2 \geq 0$
$\therefore m + 2 = 0$，$n - 2 = 0$
$\therefore m = -2$，$n = 2$
$\therefore m - n = -2 - 2 = -4$
C
10. 用简便方法计算：$10.1^2 - 2×10.1×0.1 + 0.01 = \underline{
100
}$.答案
100
解析
$10.1^2 - 2×10.1×0.1 + 0.01$
$=(10.1 - 0.1)^2$
$=10^2$
$=100$
$=(10.1 - 0.1)^2$
$=10^2$
$=100$
11. 现定义某种运算“\”：对于任意两个数 a 和 b,有$ a\b = a^2 - ab + b^2,$如$ 3\4 = 3^2 - 3×4 + 4^2 = 13. $请按定义计算$ (x + y)x - y) = \underline{\quad\quad}.$
$x^{2}+3y^{2}$
答案
$x^{2}+3y^{2}$
解析
$(x+y)\setminus(x-y)$
$=(x+y)^2-(x+y)(x-y)+(x-y)^2$
$=x^2+2xy+y^2-(x^2-y^2)+x^2-2xy+y^2$
$=x^2+2xy+y^2-x^2+y^2+x^2-2xy+y^2$
$=x^2+3y^2$
$=(x+y)^2-(x+y)(x-y)+(x-y)^2$
$=x^2+2xy+y^2-(x^2-y^2)+x^2-2xy+y^2$
$=x^2+2xy+y^2-x^2+y^2+x^2-2xy+y^2$
$=x^2+3y^2$
12. 用简便方法计算：(1)$199^2$；(2)$1001^2$.
答案
(1)$199^{2}=(200-1)^{2}=200^{2}-2×200×1+1^{2}=40000-400+1=39601$.
(2)$1001^{2}=(1000+1)^{2}=1000^{2}+2×1000×1+1^{2}=1002001$
13. 先化简,再求值：$(x + 3)^2 + (2 + x)(2 - x)$,其中 $x = -2$.
答案
解:原式=$x^{2}+6x+9+4-x^{2}=6x+13$.当x=-2时,原式=$6×(-2)+13=1$
解析
解:原式$=(x^{2}+6x+9)+(4-x^{2})$
$=x^{2}+6x+9+4-x^{2}$
$=6x+13$
当$x=-2$时,原式$=6×(-2)+13=-12+13=1$
$=x^{2}+6x+9+4-x^{2}$
$=6x+13$
当$x=-2$时,原式$=6×(-2)+13=-12+13=1$
14. 若 $x + y = 2$,且 $(x + 2)(y + 2) = 5$,求 $x^2 + xy + y^2$ 的值.
答案
解:因为$(x+2)(y+2)=5$,所以$xy+2(x+y)+4=5$.因为x+y=2,所以xy=-3,所以$x^{2}+xy+y^{2}=(x+y)^{2}-xy=2^{2}-(-3)=7$
解析
解:因为$(x + 2)(y + 2) = 5$，所以$xy + 2(x + y) + 4 = 5$。
因为$x + y = 2$，所以$xy + 2×2 + 4 = 5$，即$xy + 4 + 4 = 5$，解得$xy = -3$。
所以$x^2 + xy + y^2=(x + y)^2 - xy=2^2 - (-3)=4 + 3=7$。
因为$x + y = 2$，所以$xy + 2×2 + 4 = 5$，即$xy + 4 + 4 = 5$，解得$xy = -3$。
所以$x^2 + xy + y^2=(x + y)^2 - xy=2^2 - (-3)=4 + 3=7$。
15. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”,此图揭示了 $(a + b)^n$($n$ 为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律. 请你观察,并根据此规律填空：$(a + b)^7$ 的展开式共有
8
项,第二项的系数是7
,$(a + b)^n$ 的展开式共有n+1
项,各项的系数和是$2^{n}$
.答案
8 7 n+1 $2^{n}$
解析
8；7；$n+1$；$2^{n}$
16. 【阅读理解】
“若 $x$ 满足 $(80 - x)(x - 60) = 30$,求 $(80 - x)^2 + (x - 60)^2$ 的值”.
【解决问题】
(1)若 $x$ 满足 $(30 - x)(x - 20) = -10$,求 $(30 - x)^2 + (x - 20)^2$ 的值.
(2)若 $x$ 满足 $(2023 - x)^2 + (2021 - x)^2 = 4040$,求 $(2023 - x)(2021 - x)$ 的值.
“若 $x$ 满足 $(80 - x)(x - 60) = 30$,求 $(80 - x)^2 + (x - 60)^2$ 的值”.
【解决问题】
(1)若 $x$ 满足 $(30 - x)(x - 20) = -10$,求 $(30 - x)^2 + (x - 20)^2$ 的值.
(2)若 $x$ 满足 $(2023 - x)^2 + (2021 - x)^2 = 4040$,求 $(2023 - x)(2021 - x)$ 的值.
答案
(1)$(30-x)^{2}+(x-20)^{2}+2(30-x)(x-20)=[(30-x)+(x-20)]^{2}=100$,
∴$(30-x)^{2}+(x-20)^{2}+2×(-10)=100$,
∴$(30-x)^{2}+(x-20)^{2}=120$.
(2)$(2023-x)^{2}+(2021-x)^{2}-2(2023-x)(2021-x)=[(2023-x)-(2021-x)]^{2}=4$,
∴$4040-2(2023-x)(2021-x)=4$,
∴$(2023-x)(2021-x)=2018$
