10. 如图,在△ABC中,∠ABC= 70°,BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点,Q为边AB上一动点.当AP+PQ的值最小时,∠APB的度数是 ()
A.120°
B.125°
C.130°
D.135°

B

作点Q关于BD的对称点Q'，则Q'在BC上，PQ=PQ'，AP+PQ=AP+PQ'。当A、P、Q'共线且AQ'⊥BC时，AP+PQ最小（垂线段最短），此时Q'为垂足，P是AQ'与BD的交点。
∵∠ABC=70°，AQ'⊥BC，∴∠BAQ'=90°-70°=20°，即∠BAP=20°。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=35°。
在△APB中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABD=180°-20°-35°=125°。

11. 在平面直角坐标系中,若点A(2m+n,2),B(1,n-m)关于x轴对称,则m的值为,n的值为.

m的值为1，n的值为-1。

∵点A(2m+n,2),B(1,n-m)关于x轴对称，
∴2m+n=1，n-m=-2，
解得m=1，n=-1。
m的值为1，n的值为-1。

12. 如图,AB= AC,∠A= 40°,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,则∠DBC的度数为.

30°

∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°-40°)/2=70°.
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
30°

13. 如图,点P在正五边形的边AB上运动(不与点A,B重合).若∠BCP= x°,则x的取值范围是______.

0＜x＜36

正五边形每个内角为$\frac{(5 - 2)×180^\circ}{5}=108^\circ$，即$\angle ABC = 108^\circ$。
当点$P$与点$A$重合时，$\angle BCP$最大。连接$AC$，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^\circ - 108^\circ}{2}=36^\circ$，此时$\angle BCP = 36^\circ$。
当点$P$与点$B$重合时，$\angle BCP$最小，此时$\angle BCP = 0^\circ$。
因为点$P$不与点$A$、$B$重合，所以$0 ＜ x ＜ 36$。
$0 ＜ x ＜ 36$

14. 若一个等腰三角形的底角为15°,腰长为2 cm,则它的面积为$cm^2.$

1

作腰上的高，交底边延长线于一点。底角为$15^\circ$，则顶角的外角为$30^\circ$。腰长为$2\,cm$，腰上的高为$2×\sin30^\circ = 1\,cm$。面积为$\frac{1}{2}×2×1 = 1\,cm^2$。
1

15. 如图,在△ABC中,∠A= 30°,AB= BC,点D,E分别在边AB,AC上.若沿直线DE折叠,点A恰好与点B重合,且CE= 6,则AC的长为______.

设$AE = x$，由折叠性质得$BE = AE = x$，$AD = BD$。
因为$AB = BC$，所以$\angle BAC=\angle BCA = 30^\circ$，则$\angle ABC=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ$。
$\angle ABE=\angle BAC = 30^\circ$，故$\angle EBC=\angle ABC-\angle ABE=120^\circ-30^\circ=90^\circ$。
在$Rt\triangle EBC$中，$\angle BCE = 30^\circ$，$CE = 6$，所以$BE=\frac{1}{2}CE = 3$，即$x = 3$。
因此$AC=AE + CE=3 + 6=9$。
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