1. 某商店销售一种玩具,已知所获利润y(单位:元)与销售单价x(单位:元)之间的函数解析式为$y= -x^{2}+24x+2956$,则最多获利 ()
A.3144 元
B.3100 元
C.144 元
D.2956 元

B

已知利润函数为 $ y = -x^2 + 24x + 2956 $，这是一个开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处。
顶点的 $ x $ 坐标为 $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2 × (-1)} = 12 $。
将 $ x = 12 $ 代入函数，得到最大利润：
$ y = -(12)^2 + 24 × 12 + 2956 = -144 + 288 + 2956 = 3100 $。

2. 某种商品每件的进价为 20 元,调查表明,在某段时间内,若以每件x($20\leqslant x\leqslant30$,且x为整数)元出售,可卖出$(30-x)$件.若要使利润最大,则每件的售价应为元.

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设总利润为$W$元，每件利润为$(x - 20)$元，销售数量为$(30 - x)$件。
根据总利润等于单件利润乘以销售数量，有：
$W = (x - 20)(30 - x)$
展开得：
$W = 30x - x^{2} - 600 + 20x$
$W = - x^{2} + 50x - 600$
由于二次项系数为负，所以这是一个开口向下的抛物线，其最大值出现在对称轴上，对称轴的公式为$x = -\frac{b}{2a}$。
将$a = -1$，$b = 50$代入，得到：
$x = 25$
因为$20\leqslant x\leqslant30$，且$x$为整数，所以当$x = 25$时，$W$取得最大值。

3. 某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件.经调查,这种生活用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售单价定为元时,才能使每天所获销售利润最大.

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设销售单价定为$x$元，每天所获利润为$y$元。
单价提高$(x - 9)$元，销售量减少$4(x - 9)$件，故销售量为$20 - 4(x - 9) = 56 - 4x$件。
每件利润为$(x - 8)$元，总利润$y=(x - 8)(56 - 4x)$，整理得$y=-4x^2 + 88x - 448$。
二次函数$y=-4x^2 + 88x - 448$中，$a=-4\lt0$，开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{88}{2×(-4)}=11$。
故当$x=11$时，$y$最大。

4. 某种商品每天的销售利润y(单位:元)与销售单价x(单位:元)之间满足$y= ax^{2}+bx-75$,其图象如图所示,则销售单价为元时,该种商品每天的销售利润最大.

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由图可知抛物线过点(5,0)和(7,16)，代入$y=ax^2+bx-75$得：
$\begin{cases}25a + 5b - 75 = 0 \\ 49a + 7b - 75 = 16\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = -1 \\ b = 20\end{cases}$，所以$y=-x^2 + 20x - 75$，对称轴为$x=-\frac{20}{2×(-1)}=10$，故销售单价为10元时利润最大。