4. 如图,OA是⊙O的半径,BC是⊙O的弦,OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC= 45°,BC= 4,则线段AE的长为.

2√2

∵OA是⊙O半径，OA⊥BC于D，BC=4，∴由垂径定理得DC=BC/2=2。
∵∠AOC=45°，即∠DOC=45°，在Rt△ODC中，∠ODC=90°，tan∠DOC=DC/OD=1，∴OD=DC=2。
由勾股定理得OC=√(OD²+DC²)=√(2²+2²)=2√2，即OA=OC=2√2。
∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∠OAE=90°。
在Rt△OAE中，∠AOE=45°，∴∠E=45°，故OA=AE=2√2。

5. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= BC,点O在AB上,以点O为圆心,OA的长为半径的半圆分别交AC,BC,AB于点D,E,F,且E是$\widehat{DF}$的中点.求证：BC是半圆O的切线.

证明：连接OE，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°．
∵E是$\widehat{DF}$的中点，
∴$\widehat{DE}=\widehat{EF}$，
∴∠DAE=∠EAF（等弧所对的圆周角相等），即AE平分∠BAC．
∵∠BAC=45°，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°．
∵OA=OE（半圆半径），
∴∠OEA=∠BAE=22.5°（等边对等角）．
在△AOE中，∠AOE=180°-∠OEA-∠BAE=180°-22.5°-22.5°=135°．
∵点O在AB上，
∴∠AOE+∠EOB=180°（平角定义），
∴∠EOB=180°-∠AOE=180°-135°=45°．
在△OEB中，∠OEB=180°-∠EOB-∠ABC=180°-45°-45°=90°，
∴OE⊥BC．
∵OE是半圆O的半径，E是BC与半圆O的交点，
∴BC是半圆O的切线（切线的判定定理）．
结论：BC是半圆O的切线．

6. 如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,过点C的切线与AB的延长线交于点P.若AC= PC= 3$\sqrt{3}$,求PB的长.

3

连接OC，BC。
设⊙O半径为r，PB=x，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，OA=OB=OC=r。
∵PC为切线，∴OC⊥PC，∠OCP=90°。
∵AC=PC=3√3，∴∠PAC=∠CPA=θ。
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=θ，∠POC=∠OAC+∠OCA=2θ。
在Rt△OCP中，∠POC=90°-θ，∴2θ=90°-θ，解得θ=30°。
在Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴BC=AB/2= (2r)/2=r。
∵∠BCP=∠ACP-∠ACB=120°-90°=30°=∠CPA，∴PB=BC=r。
在Rt△OCP中，OC²+PC²=PO²，即r²+(3√3)²=(r+r)²，
∴r²+27=4r²，3r²=27，r=3。
∵PB=r，∴PB=3。