【例题1】将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，用这两段铁丝分别围成两个正方形，且两段铁丝均无剩余.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17 cm²，那么这根铁丝被剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12 cm²吗？若能，请求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

思路导引 设其中一段的长为x cm，列出面积之和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解答问题.
解：方法一：（1）设这根铁丝被剪成两段后其中一段的长度是x cm，则另一段的长度是(20 - x)cm.
由题意，得$(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2 = 17$.
解得$x_1 = 16$，$x_2 = 4$.
当$x_1 = 16$时，$20 - x = 4$；当$x_2 = 4$时，$20 - x = 16$.
所以这根铁丝被剪成两段后的长度分别是16 cm和4 cm.
（2）不能. 理由：
$(\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2 = 12$.
整理，得$x^2 - 20x + 104 = 0$.
∵$\Delta = b^2 - 4ac = -16 ＜ 0$，
∴此方程无解. ∴两个正方形的面积之和不可能等于12 cm².
方法二：设剪成两段后其中一段的长度是x cm，两个正方形的面积之和为y cm².
由题意，得
$y = (\frac{x}{4})^2 + (\frac{20 - x}{4})^2$
$= \frac{1}{8}(x - 10)^2 + 12.5(0 ＜ x ＜ 20)$.
（1）当$y = 17$时，有$\frac{1}{8}(x - 10)^2 + 12.5 = 17$.
解得$x_1 = 16$，$x_2 = 4$.
当$x_1 = 16$时，$20 - x = 4$；当$x_2 = 4$时，$20 - x = 16$.
故这根铁丝被剪成两段后的长度分别是16 cm和4 cm.
（2）不能. 理由：∵在函数$y = \frac{1}{8}(x - 10)^2 + 12.5$中，$a = \frac{1}{8} ＞ 0$，∴当$x = 10$时，函数有最小值，最小值为12.5. ∵12 ＜ 12.5，∴两个正方形的面积之和不可能等于12 cm².

【例题2】学校计划用地砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100 m，宽为80 m. 图案设计如图所示，广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，这四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地砖，其余部分铺白色地砖.

（1）要使铺白色地砖的面积为5200 m²，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米?
（2）如果铺白色地砖的费用为30元/m²，铺绿色地砖的费用为20元/m². 当矩形广场四角的小正方形的边长为多少米时，用于铺设广场地面的总费用最少？最少费用为多少？

思路导引 设小正方形的边长为x m，用四个小正方形的面积加中间一个大矩形的面积，即白色地砖的总面积.
解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x m. 由题意，得$4x^2 + (100 - 2x)(80 - 2x) = 5200$.
整理，得$x^2 - 45x + 350 = 0$.
解得$x_1 = 35$，$x_2 = 10$.
经检验，$x_1 = 35$，$x_2 = 10$均符合题意.
故要使铺白色地砖的面积为5200 m²，那么矩形广场四角的小正方形的边长为35 m或10 m.
（2）设用于铺设广场地面的总费用为y元，矩形广场四角的小正方形的边长为x m.
由题意，得$y = 30×[4x^2 + (100 - 2x)(80 - 2x)] + 20×[2x(100 - 2x) + 2x(80 - 2x)]$.
化简，得$y = 80x^2 - 3600x + 240000$.
配方，得$y = 80(x - 22.5)^2 + 199500$.
当$x = 22.5$时，y的值最小，最小值为199500.
故当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5 m时，用于铺设广场地面的总费用最少，最少费用为199500元.