【例题】如图,F 是□ABCD 的边 CD 上一点,连接 BF,并延长 BF 交 AD 的延长线于点 E. 求证:$\frac{DE}{AE}= \frac{DF}{DC}$.
【证明】
【学法点睛】本题是证明等积式的典型题.要证明$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,经常要把它转化为两个等式:$\frac{a}{b}= \frac{e}{f}和\frac{e}{f}= \frac{c}{d}$.我们通常把$\frac{e}{f}$叫作中间比.而找中间比的常见的方法就是通过找到平行线,然后利用平行线分线段成比例定理和它的推论来构造比例式.

证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$CD// AB$，即$DF// AB$，
根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
所以$\frac{DE}{AE}=\frac{DF}{AB}$。
又因为$CD = AB$，
所以$\frac{DE}{AE}=\frac{DF}{DC}$。

1. 若$x:y= 2:3$,则下列各式不成立的是 ()
A.$\frac{x+y}{y}= \frac{5}{3}$
B.$\frac{y-x}{y}= \frac{1}{3}$
C.$\frac{x}{2y}= \frac{1}{3}$
D.$\frac{x+1}{y+1}= \frac{3}{4}$

D

已知 $x:y = 2:3$，设 $x = 2k$，$y = 3k$（$k \neq 0$）。
选项A：
$\frac{x+y}{y} = \frac{2k+3k}{3k} = \frac{5k}{3k} = \frac{5}{3}$，成立。
选项B：
$\frac{y-x}{y} = \frac{3k-2k}{3k} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3}$，成立。
选项C：
$\frac{x}{2y} = \frac{2k}{2 \cdot 3k} = \frac{2k}{6k} = \frac{1}{3}$，成立。
选项D：
$\frac{x+1}{y+1} = \frac{2k+1}{3k+1}$。
若 $\frac{2k+1}{3k+1} = \frac{3}{4}$，则交叉相乘得 $4(2k+1) = 3(3k+1)$，
展开得 $8k+4 = 9k+3$，解得 $k=1$。
但 $k$ 为任意非零常数，当 $k \neq 1$ 时等式不成立，故选项D不成立。

2. 如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 AD 上一点,连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F,则下列结论中错误的是 ()

A.$∠AEF= ∠DEC$
B.$FA:CD= AE:BC$
C.$FA:AB= FE:EC$
D.$AB= DC$

B

选项分析：
A选项：∠AEF与∠DEC是对顶角，对顶角相等，故A正确。
B选项：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，AD=BC。
∵AB//CD，∴∠FAE=∠D，∠F=∠ECD（内错角相等），
∴△FAE∽△CDE（两角对应相等），则$\frac{FA}{CD}=\frac{AE}{DE}$。
∵BC=AD=AE+DE，∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AE}{AE+DE}≠\frac{AE}{DE}$，即$\frac{FA}{CD}≠\frac{AE}{BC}$，故B错误。
C选项：由△FAE∽△CDE得$\frac{FA}{CD}=\frac{FE}{CE}$，∵AB=CD，∴$\frac{FA}{AB}=\frac{FE}{CE}$，故C正确。
D选项：平行四边形对边相等，∴AB=DC，故D正确。

3. 如图,$△ABC$中,已知$MN// BC,DN// MC$. 小红同学由此得出了以下四个结论:
①$\frac{AN}{CN}= \frac{AM}{AB}$;②$\frac{AD}{DM}= \frac{DN}{MC}$;③$\frac{AM}{MB}= \frac{AN}{NC}$;④$\frac{DN}{MC}= \frac{MN}{BC}$.
其中正确结论的个数为 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

B

分析过程：
结论①：$\frac{AN}{CN} = \frac{AM}{AB}$
∵ $MN // BC$，由平行线分线段成比例定理推论，得$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$。又$AC = AN + CN$，则$\frac{AN}{CN} = \frac{AM}{MB} \neq \frac{AM}{AB}$，故①错误。
结论②：$\frac{AD}{DM} = \frac{DN}{MC}$
∵ $DN // MC$，∴ $\triangle ADN \sim \triangle AMC$（相似三角形判定），则$\frac{DN}{MC} = \frac{AD}{AM}$。而$\frac{AD}{DM} \neq \frac{AD}{AM}$，故②错误。
结论③：$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$
∵ $MN // BC$，由平行线分线段成比例定理推论，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例，即$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$，故③正确。
结论④：$\frac{DN}{MC} = \frac{MN}{BC}$
∵ $MN // BC$，∴ $\triangle AMN \sim \triangle ABC$，得$\frac{MN}{BC} = \frac{AN}{AC} = k$。
∵ $DN // MC$，∴ $\triangle ADN \sim \triangle AMC$，得$\frac{DN}{MC} = \frac{AN}{AC} = k$。
∴ $\frac{DN}{MC} = \frac{MN}{BC}$，故④正确。
结论：正确结论为③④，共2个。

4. 如图,设 M,N 分别是直角梯形 ABCD 两腰 AD,CB 的中点,$DE⊥AB$于点 E,将$△ADE$沿 DE 翻折,M 与 N 恰好重合,则$AE:BE$等于 ()

A.$2:1$
B.$1:2$
C.$3:2$
D.$2:3$

A

设AE = a，BE = b，DE = h，以E为原点，AB为x轴，DE为y轴建立坐标系。则A(-a,0)，E(0,0)，B(b,0)，D(0,h)。
∵ABCD是直角梯形，∴BC为直角腰（BC⊥AB），故C(b,h)，DC = b。
M为AD中点，坐标为$(-\frac{a}{2},\frac{h}{2})$；N为BC中点，坐标为$(\frac{b + b}{2},\frac{0 + h}{2}) = (b,\frac{h}{2})$。
翻折△ADE沿DE，A对称点A'(a,0)，A'D中点M'坐标为$(\frac{a}{2},\frac{h}{2})$。
∵翻折后M与N重合，∴M' = N，即$\frac{a}{2} = b$，得$a = 2b$。
∴AE:BE = a:b = 2:1。

5. 如图,已知$AB// CD// EF$,那么下列结论正确的是 ()

A.$\frac{AD}{DF}= \frac{BC}{CE}$
B.$\frac{BC}{CE}= \frac{DF}{AD}$
C.$\frac{CD}{EF}= \frac{BC}{BE}$
D.$\frac{CE}{EF}= \frac{AD}{AF}$

A

根据平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
因为$AB// CD// EF$，所以$\frac{AD}{DF}=\frac{BC}{CE}$，$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$，$\frac{CD}{EF}\neq\frac{BC}{BE}$，$\frac{CE}{EF}\neq\frac{AD}{AF}$。
所以选项A正确，选项B、C、D错误。