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1. 下列说法正确的是(
A.三角形的重心是三角形三条角平分线的交点
B.三角形的重心是三角形三条中线的交点
C.三角形的重心是一条中线和一条角平分线的交点
D.不是每个三角形都存在重心
B
)。A.三角形的重心是三角形三条角平分线的交点
B.三角形的重心是三角形三条中线的交点
C.三角形的重心是一条中线和一条角平分线的交点
D.不是每个三角形都存在重心
答案
B
2. 如图所示,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的中线,$E$,$F$ 分别是 $AD$,$BE$ 的中点。若 $\triangle BFD$ 的面积为 $1$,则 $\triangle ABC$ 的面积为(
A.$3$
B.$8$
C.$4$
D.$6$
B
)。A.$3$
B.$8$
C.$4$
D.$6$
答案
B
解析
证明：
∵F是BE的中点，
∴BF=FE，
∴S△BFD=S△EFD=1（等底同高），
∴S△BDE=S△BFD+S△EFD=2。
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴S△ABE=S△BDE=2（等底同高），
∴S△ABD=S△ABE+S△BDE=4。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC=4（等底同高），
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=8。
答案：B
∵F是BE的中点，
∴BF=FE，
∴S△BFD=S△EFD=1（等底同高），
∴S△BDE=S△BFD+S△EFD=2。
∵E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴S△ABE=S△BDE=2（等底同高），
∴S△ABD=S△ABE+S△BDE=4。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC=4（等底同高），
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=8。
答案：B
3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 120^{\circ}$,$\angle B = 2\angle C$。若 $CD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,则 $\angle ADC= $
50°
。答案
50°
解析
解：在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$，
$\angle A = 120°$，则$\angle B + \angle C = 60°$。
又$\angle B = 2\angle C$，设$\angle C = x$，则$\angle B = 2x$，
$2x + x = 60°$，解得$x = 20°$，即$\angle C = 20°$。
$CD$是角平分线，$\angle ACD = \frac{1}{2}\angle C = 10°$。
在$\triangle ADC$中，$\angle ADC = 180° - \angle A - \angle ACD = 180° - 120° - 10° = 50°$。
50°
$\angle A = 120°$，则$\angle B + \angle C = 60°$。
又$\angle B = 2\angle C$，设$\angle C = x$，则$\angle B = 2x$，
$2x + x = 60°$，解得$x = 20°$，即$\angle C = 20°$。
$CD$是角平分线，$\angle ACD = \frac{1}{2}\angle C = 10°$。
在$\triangle ADC$中，$\angle ADC = 180° - \angle A - \angle ACD = 180° - 120° - 10° = 50°$。
50°
4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AC - BC = 2\mathrm{cm}$,$BD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,则 $\triangle ABD$ 的周长比 $\triangle BDC$ 的周长长
2
$\mathrm{cm}$。答案
2
解析
证明：
∵ $AB = AC$，$BD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，
∴ $AD = DC$。
$\triangle ABD$ 的周长为 $AB + BD + AD$，
$\triangle BDC$ 的周长为 $BC + BD + DC$。
两三角形周长差为：
$(AB + BD + AD) - (BC + BD + DC)$
$= AB - BC + (AD - DC)$
$= AB - BC$（
∵ $AD = DC$）。
∵ $AC - BC = 2\,cm$ 且 $AB = AC$，
∴ $AB - BC = 2\,cm$。
即 $\triangle ABD$ 的周长比 $\triangle BDC$ 的周长长 $2\,cm$。
2
∵ $AB = AC$，$BD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，
∴ $AD = DC$。
$\triangle ABD$ 的周长为 $AB + BD + AD$，
$\triangle BDC$ 的周长为 $BC + BD + DC$。
两三角形周长差为：
$(AB + BD + AD) - (BC + BD + DC)$
$= AB - BC + (AD - DC)$
$= AB - BC$（
∵ $AD = DC$）。
∵ $AC - BC = 2\,cm$ 且 $AB = AC$，
∴ $AB - BC = 2\,cm$。
即 $\triangle ABD$ 的周长比 $\triangle BDC$ 的周长长 $2\,cm$。
2
5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A = 60^{\circ}$,$\triangle ABC$ 的角平分线 $BD$ 与 $CE$ 交于点 $O$,则 $\angle BOC= $
120°
。答案
120°
解析
证明：
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60°$，
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180° - \angle A = 120°$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$，
$\therefore \angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB = \frac{1}{2}\angle ACB$，
$\therefore \angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC = 180° - (\angle OBC + \angle OCB) = 180° - 60° = 120°$。
$120°$
在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60°$，
$\therefore \angle ABC + \angle ACB = 180° - \angle A = 120°$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle ACB$，
$\therefore \angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB = \frac{1}{2}\angle ACB$，
$\therefore \angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
在$\triangle BOC$中，$\angle BOC = 180° - (\angle OBC + \angle OCB) = 180° - 60° = 120°$。
$120°$
6. 如图,已知 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,$DE// AB$,且 $DE$ 与 $AC$ 相交于点 $E$,$\angle BAC = 80^{\circ}$,求 $\angle ADE$ 的度数。
答案
40°
解析
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴∠BAD=∠CAD= $\frac{1}{2}$∠BAC=40°。
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°。
40°
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴∠BAD=∠CAD= $\frac{1}{2}$∠BAC=40°。
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°。
40°
