7. 已知$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$,判断比例式$\frac{a}{b}= \frac{a + 2b}{c + 2d}$是否成立,并说明理由.

不成立。理由如下：
设$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$，则$a = kb$，$c = kd$。
代入$\frac{a + 2b}{c + 2d}$得：$\frac{kb + 2b}{kd + 2d} = \frac{b(k + 2)}{d(k + 2)} = \frac{b}{d}$（$k \neq -2$）。
因为$\frac{a}{b} = k$，要使$\frac{a}{b} = \frac{a + 2b}{c + 2d}$，需$k = \frac{b}{d}$。
又$k = \frac{c}{d}$，故需$\frac{c}{d} = \frac{b}{d}$，即$c = b$。
由于题目未给出$c = b$，因此$\frac{a}{b} = \frac{a + 2b}{c + 2d}$不一定成立。
综上，该比例式不成立。

设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，则$a = kb$，$c = kd$。
$\frac{a + 2b}{c + 2d}=\frac{kb + 2b}{kd + 2d}=\frac{b(k + 2)}{d(k + 2)}=\frac{b}{d}$（$k\neq -2$时）。
因为$\frac{a}{b}=k$，$\frac{b}{d}=\frac{b}{d}$，仅当$k=\frac{b}{d}$时$\frac{a}{b}=\frac{a + 2b}{c + 2d}$成立，否则不成立。
综上，比例式$\frac{a}{b}= \frac{a + 2b}{c + 2d}$不一定成立。

8. 已知$\frac{x}{3}= \frac{y}{2}$,那么下列式子中一定成立的是()
A.$2x = 3y$
B.$3x = 2y$
C.$x = 6y$
D.$xy = 6$

A

由$\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$，根据比例的基本性质，交叉相乘可得$2x = 3y$。

9. 若$\frac{2y + 3x}{5y - 3x}= \frac{3}{5}$,则$x:y$的值为.

$5:24$（或者填写比的形式对应的选择项（若有））

由题意得$\frac{2y + 3x}{5y - 3x}=\frac{3}{5}$，
根据内项之积等于外项之积，
可得$5(2y + 3x)=3(5y - 3x)$，
去括号得$10y+15x = 15y - 9x$，
移项得$15x + 9x=15y - 10y$，
合并同类项得$24x = 5y$，
则$\frac{x}{y}=\frac{5}{24}$，
即$x:y = 5:24$。

10. 已知$\frac{x}{x + 2}= \frac{3}{4}$,求$\frac{x^2 + 1}{x + 1}$的值.

$\frac{37}{7}$

解：
由$\frac{x}{x + 2}= \frac{3}{4}$，得$4x=3(x+2)$
$4x=3x+6$
$x=6$
将$x=6$代入$\frac{x^2 + 1}{x + 1}$，得
$\frac{6^2 + 1}{6 + 1}=\frac{36 + 1}{7}=\frac{37}{7}$

11. 已知$\frac{x}{2}= \frac{y}{3}= \frac{z}{4}$,求$\frac{x + y + z}{x + y - z}$的值.

设 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k$，
则 $x = 2k$，$y = 3k$，$z = 4k$。
代入 $\frac{x + y + z}{x + y - z}$，
得：
$\frac{2k + 3k + 4k}{2k + 3k - 4k} = \frac{9k}{k} = 9$
故 $\frac{x + y + z}{x + y - z} = 9$。

★12. 已知$\frac{a}{b}= \frac{c}{d}$. 求证：$\frac{a + c}{b + d}= \frac{a - c}{b - d}$(其中$b + d\neq0$,$b - d\neq0$).

证明：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，则$a = bk$，$c = dk$。
左边：$\frac{a + c}{b + d}=\frac{bk + dk}{b + d}=\frac{k(b + d)}{b + d}$，因为$b + d\neq0$，所以$\frac{k(b + d)}{b + d}=k$。
右边：$\frac{a - c}{b - d}=\frac{bk - dk}{b - d}=\frac{k(b - d)}{b - d}$，因为$b - d\neq0$，所以$\frac{k(b - d)}{b - d}=k$。
左边=右边，故$\frac{a + c}{b + d}=\frac{a - c}{b - d}$。