6. 如图,图案由三个叶片组成,绕点 $ O $ 旋转 $ 120^{\circ} $ 后可以和自身重合.若每个叶片的面积为 $ 4cm^2 $,$ \angle AOB $ 为 $ 120^{\circ} $,则图中阴影部分面积和为$ cm^2 $.
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4

由于图案绕点O旋转120°后与自身重合，且三个叶片全等并均匀分布（相邻叶片夹角120°）。利用旋转性质，阴影部分可通过旋转120°重合，其面积和等于一个叶片的面积。每个叶片面积为4cm²，故阴影部分面积和为4cm²。

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 2 $,$ BC = 3.6 $,$ \angle B = 60^{\circ} $,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 按顺时针旋转一定角度得到 $ \triangle ADE $,当点 $ B $ 的对应点 $ D $ 恰好落在 $ BC $ 边上时,则 $ CD $ 的长为 .
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1.6

由旋转性质得AD=AB=2。在△ABD中，AB=AD=2，∠B=60°，故△ABD为等边三角形，因此BD=AB=2。又BC=3.6，所以CD=BC-BD=3.6-2=1.6。

8. 如图,$ P $ 是等腰直角 $ \triangle ABC $ 外一点,把 $ BP $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 到 $ BP' $,已知 $ \angle AP'B = 135^{\circ} $,$ P'A : P'C = 1 : 3 $,则 $ P'A : PB = $()

A.$ 1 : \sqrt{2} $
B.$ 1 : 2 $
C.$ \sqrt{3} : 2 $
D.$ 1 : \sqrt{3} $

B

设等腰直角△ABC中∠ABC=90°，AB=BC，BP绕点B顺时针旋转90°得BP'，则BP=BP'，∠PBP'=90°，△PBP'为等腰直角三角形，故P'P=√2 PB。
∵∠ABC=∠PBP'=90°，∴∠ABP=∠CBP'，又AB=CB，BP=BP'，∴△ABP≌△CBP'（SAS），∴AP=P'C。
设P'A=k，则P'C=3k，故AP=3k。
∵∠AP'B=135°，△PBP'为等腰直角三角形，∠BP'P=45°，∴∠AP'P=∠AP'B - ∠BP'P=135° - 45°=90°。
在Rt△AP'P中，AP²=P'A² + P'P²，即(3k)²=k² + (√2 PB)²，解得PB=2k，∴P'A:PB=k:2k=1:2。

9. 正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 3 $,$ E $,$ F $ 分别是 $ AB $,$ BC $ 边上的点,且 $ \angle EDF = 45^{\circ} $.将 $ \triangle DAE $ 绕点 $ D $ 逆时针旋转 $ 90^{\circ} $,得到 $ \triangle DCM $.
(1)求证：$ EF = FM $.
(2)当 $ AE = 1 $ 时,求 $ EF $ 的长.
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(1)见证明过程；(2)$\frac{5}{2}$。

(1)证明：∵将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∴△DAE≌△DCM，∴DE=DM，AE=CM，∠ADE=∠CDM。
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，即∠ADE+∠EDC=90°，∴∠CDM+∠EDC=90°，即∠EDM=90°。
∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDM-∠EDF=90°-45°=45°，∴∠EDF=∠MDF。
在△DEF和△DMF中，$\left\{\begin{array}{l} DE=DM \\ ∠EDF=∠MDF \\ DF=DF \end{array}\right.$，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF=FM。
(2)解：∵正方形边长为3，AE=1，∴BE=AB-AE=3-1=2。
由旋转知CM=AE=1，设EF=FM=x，∵F在BC上，∴FC=FM-CM=x-1，BF=BC-FC=3-(x-1)=4-x。
在Rt△BEF中，∠B=90°，由勾股定理得：BE²+BF²=EF²，即$2²+(4-x)²=x²$，
解得$x=\frac{5}{2}$，∴EF的长为$\frac{5}{2}$。