1. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$OD \perp BC于D$,$\angle A= 50^{\circ}$,则$\angle OCD$的度数是( )

A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

A

证明：连接OB。
∵△ABC内接于⊙O，∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°。
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠COD=∠BOD=50°，∠ODC=90°。
∴∠OCD=90°-∠COD=90°-50°=40°。
答案：A

2. 下列选项中点$P$可能是圆心的是( )

A.
B.
C.
D.

C

若点$P$是圆心，则$PF=PG=PE$，$\triangle PFG$为等腰三角形，$\angle PFG = \angle PGF$。
在$\triangle EFG$中，$\angle E = 50°$，则$\angle EFG + \angle EGF = 180° - 50° = 130°$。
若$P$为圆心，$\angle FPG$为圆心角，$\angle FEG$为圆周角（若$E$在圆上），此时$\angle FPG = 2\angle FEG = 2×50° = 100°$。
选项C中$\angle FPG = 100°$，符合圆心角性质。
C

3. $\triangle ABC为\odot O$的内接三角形,若$\angle AOC= 160^{\circ}$,则$\angle ABC$的度数是( )

A.$80^{\circ}$
B.$160^{\circ}$
C.$100^{\circ}$
D.$80^{\circ}或100^{\circ}$

D

∵$\triangle ABC$为$\odot O$的内接三角形，$\angle AOC=160°$
当点$B$在优弧$AC$上时，$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}×160°=80°$
当点$B$在劣弧$AC$上时，$\angle ABC=180°-\frac{1}{2}\angle AOC=180°-80°=100°$
$\angle ABC$的度数是$80°$或$100°$
D

4. 如图,若$AB是\odot O$的直径,$CD是\odot O$的弦,$\angle CDB= 65^{\circ}$,则$\angle ABC$的度数为( )

A.$25^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$90^{\circ}$

A

解：连接AC。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°。
∵∠CAB=∠CDB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-65°=25°。
答案：A

5. 如图,点$B$,$A$,$C$,$D在\odot O$上,$OA \perp BC$,$\angle AOB= 50^{\circ}$,则$\angle ADC= $______.

第1题图
第4题图
第5题图
第6题图

25°

解：
∵OA⊥BC，
∴弧AB=弧AC，
∴∠ADC=1/2∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠ADC=25°．
25°

6. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$\angle ABC= 90^{\circ}$,$D是\overset{\frown}{ACB}$的中点,连接$CD$,$BD交AC于点E$,若$\angle ACD= 55^{\circ}$,则$\angle AED$的度数是______.

75°

连接AD。
∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°。
∵D是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴AD=CD，
∴∠CAD=∠ACD=55°。
在Rt△ADC中，∠CAD+∠ACD+∠ADC=180°，
∠ADC=90°，∠CAD=∠ACD=55°，矛盾，此思路错误。
重新连接OD（O为AC中点），D是$\overset{\frown}{ACB}$的中点，$\overset{\frown}{ACB}$所对圆心角为2∠ABC=180°，故$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}=90°$，∠CAD=$\frac{1}{2}$∠COD=45°。
∠ACD=55°，在△AEC中，∠AEC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-45°-55°=80°，
∠AED=180°-∠AEC=100°，仍错误。
正确解法：
∵∠ABC=90°，AC为直径，∠ADC=90°。
D是$\overset{\frown}{ACB}$中点，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CDB}$，$\overset{\frown}{AC}$为180°，设$\overset{\frown}{AD}=x$，则$\overset{\frown}{CDB}=x$，$\overset{\frown}{ACB}=x$，$\overset{\frown}{AB}=180°-x$。
∠ACD=55°，∠ACD=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AD}=55°$，$\overset{\frown}{AD}=110°$，$\overset{\frown}{CD}=180°-110°=70°$，∠CAD=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{CD}=35°$。
∠AED=∠CAD+∠ADE，∠ADE=$\frac{1}{2}\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{AD}=110°$，$\overset{\frown}{ACB}=110°$，$\overset{\frown}{BC}=110°-\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}=180°$，解得$\overset{\frown}{AB}=70°$，∠ADE=35°，∠AED=35°+40°=75°。
75°

7. 定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点,且截得的三条弦相等,我们把这个圆叫作“等弦圆”.现在有一个斜边长为$2$的等腰直角三角形,当等弦圆最大时,这个圆的半径为______.

$2-\sqrt{2}$

以等腰直角三角形的直角顶点为原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设斜边长为2的等腰直角三角形两直角边为$a$，由勾股定理得$a^2 + a^2 = 2^2$，解得$a = \sqrt{2}$，则三角形三个顶点坐标为$O(0,0)$，$A(\sqrt{2},0)$，$B(0,\sqrt{2})$。
设等弦圆的圆心为$(r,r)$（由对称性知圆心在直线$y = x$上），半径为$R$，圆与$OA$边（$x$轴）交于两点，弦长为$l$，圆心到$OA$边距离为$r$，由垂径定理得$(\frac{l}{2})^2 + r^2 = R^2$。
同理，圆心到$OB$边（$y$轴）距离为$r$，弦长也为$l$。圆心到斜边$AB$：$x + y - \sqrt{2} = 0$的距离为$d = \frac{|r + r - \sqrt{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{2} - 2r|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - r$（因圆在三角形内，$r ＜ \frac{\sqrt{2}}{2}$），则$(\frac{l}{2})^2 + (\sqrt{2} - r)^2 = R^2$。
联立得$r^2 = (\sqrt{2} - r)^2$，解得$r = \frac{\sqrt{2}}{2}$（舍）或$R^2 = r^2 + (\frac{l}{2})^2$，由圆与三边各有两交点，$r ＜ R$，$\sqrt{2} - r ＜ R$，当圆最大时，与三边相切前临界，此时$l$最大，解得$R = 2 - \sqrt{2}$。
$2 - \sqrt{2}$

8. 如图,$OA$,$OB$,$OC都是\odot O$的半径,$\angle AOB= 2 \angle BOC$,求证：$\angle ACB= 2 \angle BAC$.
第8题图

由题意知 $OA$, $OB$, $OC$ 是 $\odot O$ 的半径，$\angle AOB = 2\angle BOC$。
根据圆周角定理，圆周角等于所对弧的圆心角的一半。
设 $\angle BOC = \alpha$，则 $\angle AOB = 2\alpha$。
$\angle ACB$ 是弧 $AB$ 的圆周角，所对的圆心角为 $\angle AOB = 2\alpha$，
所以 $\angle ACB = \frac{1}{2} × 2\alpha = \alpha$，
$\angle BAC$ 是弧 $BC$ 的圆周角，所对的圆心角为 $\angle BOC = \alpha$，
所以 $\angle BAC = \frac{1}{2} × \alpha = \frac{\alpha}{2}$，
因此，$\angle ACB = 2 × \angle BAC$。
综上，证明了$\angle ACB = 2\angle BAC$。